Q1: Uma equação paramétrica do plano \left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} ; 7 x+5 y-5 z=-3\right\}, onde s, t \in \mathbb{R} são parâmetros, é:
(A) (1,-1,-1)+t(-18,0,-30)+s(0,-12,-18)
(B) \left(-1,1, \frac{1}{5}\right)+t(-20,0,-28)+s(0,15,15)
(C) (1,-1,-1)+t(-20,0,-28)+s(0,15,15)
(D) \left(-1,1, \frac{1}{5}\right)+t(-23,0,-25)+s(0,-17,-13)
(E) (1,-1,1)+t(-18,0,-30)+s(0,-12,-18)
(F) (1,-1,1)+t(-23,0,-25)+s(0,-17,-13)

Passo 1

O enunciado pede uma forma paramétrica do plano
7x + 5y - 5z = -3
ou seja, queremos um ponto qualquer (x_{0},y_{0},z_{0}) que satisfaça essa equação e dois vetores diretores \mathbf{u} e \mathbf{v} ortogonais ao vetor normal \mathbf{n}=(7,5,-5).

Passo 2

Para cada opção precisamos verificar duas coisas:
  1. Se o ponto (x_{0},y_{0},z_{0}) realmente satisfaz \;7x+5y-5z=-3.
  2. Se os vetores diretores \mathbf{u} e \mathbf{v} são perpendiculares a \mathbf{n}=(7,5,-5), isto é, se
\mathbf{n}\cdot \mathbf{u}=0 \quad\text{e}\quad \mathbf{n}\cdot \mathbf{v}=0.

Passo 3

Testando o ponto inicial de cada opção na equação do plano:
  • (A) (1,-1,-1):
    7\cdot1 + 5\cdot(-1) -5\cdot(-1) = 7 -5 +5 =7 \neq -3.
  • (B) \bigl(-1,1,\tfrac15\bigr):
    7\cdot(-1)+5\cdot1-5\cdot\tfrac15 = -7+5-1 = -3. OK.
  • (C) (1,-1,-1): já falha igual a (A).
  • (D) \bigl(-1,1,\tfrac15\bigr): mesmo ponto de (B), passa aqui.
  • (E) (1,-1,1):
    7\cdot1+5\cdot(-1)-5\cdot1 =7-5-5=-3. OK.
  • (F) (1,-1,1): repete o ponto de (E), passa também.
Sobraram (B), (D), (E) e (F).

Passo 4

Agora checamos \mathbf{n}\cdot\mathbf{u}=0 e \mathbf{n}\cdot\mathbf{v}=0 para cada um:
  • (B): \mathbf{u}=(-20,0,-28), \mathbf{v}=(0,15,15).
\mathbf{n}\cdot\mathbf{u} = 7\cdot(-20)+5\cdot0-5\cdot(-28) = -140 + 140 = 0,
\mathbf{n}\cdot\mathbf{v} = 7\cdot0 + 5\cdot15 -5\cdot15 = 75 -75 = 0.
  • (D): \mathbf{u}=(-23,0,-25)
    7\cdot(-23)+0 -5\cdot(-25) = -161+125=-36\neq0.
  • (E): \mathbf{u}=(-18,0,-30)
    7\cdot(-18)+0 -5\cdot(-30)= -126+150=24\neq0.
  • (F): \mathbf{u}=(-23,0,-25) igual a (D), também falha.
Apenas a alternativa (B) satisfaz ambas as condições.

Resposta

(B)

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