Considere as matrizes: A=(cc10 & 25 2 & 5), B=(ccc2 & -4 & 6 5 & -9 & 8 7 & -2 & 1) e C=(ccc1 & -3 & 1 -2 & -3 & -1 -1 & 2 & -1).
a) Calcule det A
b) Calcule det B
c) Calcule det C
d) Verifique se: det(B+C)=det B+det C

Passo 1

O enunciado pede para calcular determinantes de matrizes A, B e C e depois verificar se vale det(B+C)=det B+det C. Vamos usar a fórmula de determinante para matriz 2times2 em A e a regra de Sarrus ou expansão por menores para matrizes 3times3 em B, C e B+C.

Passo 2

Para A=10 & 25 [0.3em]2 & 5 usamos
det A = 10cdot5 ;- 25cdot2 = 50 - 50 = 0 ]

Passo 3

Para B=2 & -4 & 6 [0.3em]5 & -9 & 8 [0.3em]7 & -2 & 1 aplicamos a regra de Sarrus. Primeiro as somas das diagonais principais:
2cdot(-9)cdot1 ;+;(-4)cdot8cdot7 ;+;6cdot5cdot(-2) = -18 ;-;224 ;-;60 = -302,
Depois as secundárias:
6cdot(-9)cdot7 ;+;2cdot8cdot(-2) ;+;(-4)cdot5cdot1 = -378 ;-;32 ;-;20 = -430
Logo
det B = (-302) - (-430) = 128 ]

Passo 4

Para C=1 & -3 & 1 [0.3em]-2 & -3 & -1 [0.3em]-1 & 2 & -1 também pela regra de Sarrus:
1cdot(-3)cdot(-1) ;+;(-3)cdot(-1)cdot(-1) ;+;1cdot(-2)cdot2 = 3 ;-;3 ;-;4 = -4,
1cdot(-3)cdot(-1) ;+;1cdot(-1)cdot2 ;+;(-3)cdot(-2)cdot(-1) = 3 ;-;2 ;-;6 = -5,
det C = (-4) - (-5) = 1 ]

Passo 5

Calculamos B+C:
B+C = 2+1 & -4+(-3) & 6+1 [0.3em] 5+(-2) & -9+(-3) & 8+(-1) [0.3em] 7+(-1) & -2+2 & 1+(-1) =3 & -7 & 7 [0.3em]3 & -12 & 7 [0.3em]6 & 0 & 0 ]

Passo 6

Para D=B+C usamos expansão pela primeira linha:
det D = 3det-12 & 7[0.2em]0 & 0 ;-;(-7)det3 & 7[0.2em]6 & 0 ;+;7det3 & -12[0.2em]6 & 0
Calculando menores:
det-12 & 70 & 0=0, det3 & 76 & 0=3cdot0-7cdot6=-42,
det3 & -126 & 0=3cdot0-(-12)cdot6=72
Então
det D = 3cdot0 ;-;(-7)cdot(-42) ;+;7cdot72 = 0 ;-;294 ;+;504 =210 ]

Passo 7

Agora comparamos:
det B + det C = 128 + 1 = 129,
enquanto
det(B+C) = 210
Portanto não vale det(B+C)=det B+det C.

Resposta

a) det A = 0
b) det B = 128
c) det C = 1
d) Não, pois det(B+C)=210neq128+1=129.

Exercícios relacionados