Considere as matrizes A=\left(\begin{array}{cc}2 & 0 \\\\ 3 & -1\end{array}\right) \quad B=\left(\begin{array}{ll}1 & 2 \\\\ 0 & 4\end{array}\right) \quad C=\left(\begin{array}{ccc}0 & 1 & 3 \\\\ -1 & 0 & 2 \\\\ -3 & -2 & 0\end{array}\right)
D=\left(\begin{array}{ccc}-1 & 3 & 2 \\\\ 3 & 7 & 5 \\\\ 2 & 5 & 4\end{array}\right) \quad E=\left(\begin{array}{cccc}-1 & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 3 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 2 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & -1\end{array}\right) \quad F=\left(\begin{array}{cccc}1 & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & -2 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 3 \\\\ 1 & 0 & 3 & 5\end{array}\right)
(a) Determine A+B, C+D, E+F, 5 \cdot A e \frac{1}{3} \cdot C;
(b) Determine A \cdot B, C \cdot D e E \cdot F;
(c) Se M é uma matriz quadrada. Definimos o traço de M, denotado por \operatorname{tr}(M), como sendo a soma dos elementos que constituem a diagonal principal de M. Determine o traço das matrizes A, B, C, D, E e F.

Passo 1

O enunciado fornece as matrizes (vou repetir as entradas explicitamente para não nos perdermos) e pede três coisas: (a) algumas somas e multiplicações por escalar; (b) alguns produtos de matrizes; (c) os traços das matrizes. As matrizes dadas são
A=\begin{pmatrix}2 & 0 \\[4pt] 3 & -1\end{pmatrix}, \qquad B=\begin{pmatrix}1 & 2 \\[4pt] 0 & 4\end{pmatrix},
C=\begin{pmatrix}0 & 1 & 3 \\[4pt] -1 & 0 & 2 \\[4pt] -3 & -2 & 0\end{pmatrix}, \qquad D=\begin{pmatrix}-1 & 3 & 2 \\[4pt] 3 & 7 & 5 \\[4pt] 2 & 5 & 4\end{pmatrix},
E=\begin{pmatrix}-1 & 0 & 0 & 0 \\[4pt] 0 & 3 & 0 & 0 \\[4pt] 0 & 0 & 2 & 0 \\[4pt] 0 & 0 & 0 & -1\end{pmatrix}, \qquad F=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 0 \\[4pt] 0 & -2 & 0 & 0 \\[4pt] 0 & 0 & 0 & 3 \\[4pt] 1 & 0 & 3 & 5\end{pmatrix}.
As perguntas específicas são:
  • (a) Calcular A+B, C+D, E+F, 5\cdot A e \frac{1}{3}\cdot C.
  • (b) Calcular A\cdot B, C\cdot D e E\cdot F.
  • (c) Calcular \operatorname{tr}(A),\operatorname{tr}(B),\operatorname{tr}\text{(C)},\operatorname{tr}(D),\operatorname{tr}(E),\operatorname{tr}(F).]

Passo 2

Regra para soma de matrizes e aplicação ao caso A+B.\n
  • Conceito: só podemos somar matrizes que têm as mesmas dimensões. A soma é feita elemento a elemento: se X=(x_{ij}) e Y=(y_{ij}) são da mesma ordem, então X+Y=(x_{ij}+y_{ij}).\n
  • Aqui A e B são 2\times2, então somamos entrada a entrada:
A+B=\begin{pmatrix}2+1 & 0+2 \\[4pt] 3+0 & -1+4\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}3 & 2 \\[4pt] 3 & 3\end{pmatrix}.]

Passo 3

Calculando C+D usando a mesma regra de soma elemento a elemento.\n
  • C e D são 3\times3, então
C+D=\begin{pmatrix} 0+(-1) & 1+3 & 3+2 \\[4pt] -1+3 & 0+7 & 2+5 \\[4pt] -3+2 & -2+5 & 0+4 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-1 & 4 & 5 \\[4pt] 2 & 7 & 7 \\[4pt] -1 & 3 & 4\end{pmatrix}.]

Passo 4

Calculando E+F.\n
  • E e F são 4\times4. Somamos cada entrada correspondente:
E+F=\begin{pmatrix} -1+1 & 0+0 & 0+0 & 0+0 \\[4pt] 0+0 & 3+(-2) & 0+0 & 0+0 \\[4pt] 0+0 & 0+0 & 2+0 & 0+3 \\[4pt] 0+1 & 0+0 & 0+3 & -1+5 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0 & 0 & 0 & 0 \\[4pt] 0 & 1 & 0 & 0 \\[4pt] 0 & 0 & 2 & 3 \\[4pt] 1 & 0 & 3 & 4\end{pmatrix}.]

Passo 5

Regra para multiplicação por escalar e aplicação a 5\cdot A.\n
  • Conceito: multiplicar matriz por escalar significa multiplicar cada entrada pelo escalar. Se k\in\mathbb{R} e X=(x_{ij}) então kX=(kx_{ij}).\n
  • Aplicando com k=5 e A:
5\cdot A=\begin{pmatrix}5\cdot 2 & 5\cdot 0 \\[4pt] 5\cdot 3 & 5\cdot(-1)\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}10 & 0 \\[4pt] 15 & -5\end{pmatrix}.]

Passo 6

Calculando \frac{1}{3}\cdot C.\n
  • Mesma ideia: multiplicar cada entrada de C por \frac{1}{3}:
\frac{1}{3}\cdot C=\begin{pmatrix} \frac{1}{3}\cdot 0 & \frac{1}{3}\cdot 1 & \frac{1}{3}\cdot 3 \\[4pt] \frac{1}{3}\cdot(-1) & \frac{1}{3}\cdot 0 & \frac{1}{3}\cdot 2 \\[4pt] \frac{1}{3}\cdot(-3) & \frac{1}{3}\cdot(-2) & \frac{1}{3}\cdot 0 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0 & \tfrac{1}{3} & 1 \\[4pt] -\tfrac{1}{3} & 0 & \tfrac{2}{3} \\[4pt] -1 & -\tfrac{2}{3} & 0\end{pmatrix}.]

Passo 7

Regra para multiplicação de matrizes e aplicação a A\cdot B.\n
  • Conceito: se X é m\times n e Y é n\times p, então XY é m\times p. A entrada na linha i e coluna j de XY é o produto escalar da linha i de X com a coluna j de Y:
(XY)_{ij}=\sum_{k=1}^{n} x_{ik}y_{kj}.
  • Aqui A e B são 2\times2. Calculemos entrada a entrada:
A\cdot B=\begin{pmatrix} 2\cdot 1 + 0\cdot 0 & 2\cdot 2 + 0\cdot 4 \\[4pt] 3\cdot 1 + (-1)\cdot 0 & 3\cdot 2 + (-1)\cdot 4 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}2 & 4 \\[4pt] 3 & 2\end{pmatrix}.]

Passo 8

Calculando C\cdot D com produto linha por coluna (mostrando cada produto escalar).\n
  • C e D são 3\times3. Vamos denotar as linhas de C e as colunas de D e calcular cada entrada:
C\cdot D=\begin{pmatrix} (0)(-1)+(1)(3)+(3)(2) & (0)(3)+(1)(7)+(3)(5) & (0)(2)+(1)(5)+(3)(4) \\[6pt] (-1)(-1)+(0)(3)+(2)(2) & (-1)(3)+(0)(7)+(2)(5) & (-1)(2)+(0)(5)+(2)(4) \\[6pt] (-3)(-1)+(-2)(3)+(0)(2) & (-3)(3)+(-2)(7)+(0)(5) & (-3)(2)+(-2)(5)+(0)(4) \end{pmatrix}.
Agora simplificando cada entrada:
C\cdot D=\begin{pmatrix} 0+3+6 & 0+7+15 & 0+5+12 \\[4pt] 1+0+4 & -3+0+10 & -2+0+8 \\[4pt] 3-6+0 & -9-14+0 & -6-10+0 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}9 & 22 & 17 \\[4pt] 5 & 7 & 6 \\[4pt] -3 & -23 & -16\end{pmatrix}.]

Passo 9

Calculando E\cdot F e observação útil sobre matrizes diagonais.\n
  • Observação: se E é diagonal com entradas e_{11},e_{22},\dots, então E\cdot F é obtida multiplicando cada linha i de F por e_{ii}. Isso porque a multiplicação por uma matriz diagonal escala as linhas (quando o diagonal está à esquerda) ou as colunas (quando o diagonal está à direita).\n
  • Aqui E=\operatorname{diag}(-1,3,2,-1). Então multiplicamos cada linha de F pelo correspondente escalar:
E\cdot F=\begin{pmatrix} -1\cdot(1,0,0,0) \\[4pt] 3\cdot(0,-2,0,0) \\[4pt] 2\cdot(0,0,0,3) \\[4pt] -1\cdot(1,0,3,5) \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 & 0 \\[4pt] 0 & -6 & 0 & 0 \\[4pt] 0 & 0 & 0 & 6 \\[4pt] -1 & 0 & -3 & -5 \end{pmatrix}.]

Passo 10

Definição do traço e cálculo dos traços pedidas.\n
  • Conceito: o traço de uma matriz quadrada M=(m_{ij}) é a soma dos elementos da diagonal principal:
\operatorname{tr}(M)=\sum_{i} m_{ii}.
  • Aplicando a cada matriz:
\operatorname{tr}(A)=2+(-1)=1, \qquad \operatorname{tr}(B)=1+4=5,
\operatorname{tr}\text{(C)}=0+0+0=0, \qquad \operatorname{tr}(D)=-1+7+4=10,
\operatorname{tr}(E)=-1+3+2+(-1)=3, \qquad \operatorname{tr}(F)=1+(-2)+0+5=4.

Resposta

(a)
A+B=\begin{pmatrix}3 & 2 \\[4pt] 3 & 3\end{pmatrix}
C+D=\begin{pmatrix}-1 & 4 & 5 \\[4pt] 2 & 7 & 7 \\[4pt] -1 & 3 & 4\end{pmatrix}
E+F=\begin{pmatrix}0 & 0 & 0 & 0 \\[4pt] 0 & 1 & 0 & 0 \\[4pt] 0 & 0 & 2 & 3 \\[4pt] 1 & 0 & 3 & 4\end{pmatrix}
5\cdot A=\begin{pmatrix}10 & 0 \\[4pt] 15 & -5\end{pmatrix}
\frac{1}{3}\cdot C=\begin{pmatrix}0 & \tfrac{1}{3} & 1 \\[4pt] -\tfrac{1}{3} & 0 & \tfrac{2}{3} \\[4pt] -1 & -\tfrac{2}{3} & 0\end{pmatrix}
(b)
A\cdot B=\begin{pmatrix}2 & 4 \\[4pt] 3 & 2\end{pmatrix}
C\cdot D=\begin{pmatrix}9 & 22 & 17 \\[4pt] 5 & 7 & 6 \\[4pt] -3 & -23 & -16\end{pmatrix}
E\cdot F=\begin{pmatrix}-1 & 0 & 0 & 0 \\[4pt] 0 & -6 & 0 & 0 \\[4pt] 0 & 0 & 0 & 6 \\[4pt] -1 & 0 & -3 & -5\end{pmatrix}
(c)
\operatorname{tr}(A)=1,\quad \operatorname{tr}(B)=5,\quad \operatorname{tr}\text{(C)}=0,\quad \operatorname{tr}(D)=10,\quad \operatorname{tr}(E)=3,\quad \operatorname{tr}(F)=4]

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