Considere as matrizes A=\left(\begin{array}{cc}2 & 0 \\\\ 3 & -1\end{array}\right) \quad B=\left(\begin{array}{ll}1 & 2 \\\\ 0 & 4\end{array}\right) \quad C=\left(\begin{array}{ccc}0 & 1 & 3 \\\\ -1 & 0 & 2 \\\\ -3 & -2 & 0\end{array}\right) D=\left(\begin{array}{ccc}-1 & 3 & 2 \\\\ 3 & 7 & 5 \\\\ 2 & 5 & 4\end{array}\right) \quad E=\left(\begin{array}{cccc}-1 & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 3 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 2 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & -1\end{array}\right) \quad F=\left(\begin{array}{cccc}1 & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & -2 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 3 \\\\ 1 & 0 & 3 & 5\end{array}\right)
(a) Determine A+B, C+D, E+F, 5 \cdot A e \frac{1}{3} \cdot C;
(b) Determine A \cdot B, C \cdot D e E \cdot F;
(c) Se M é uma matriz quadrada. Definimos o traço de M, denotado por \operatorname{tr}(M), como sendo a soma dos elementos que constituem a diagonal principal de M. Determine o traço das matrizes A, B, C, D, E e F.
Passo 1
O enunciado fornece as matrizes (vou repetir as entradas explicitamente para não nos perdermos) e pede três coisas: (a) algumas somas e multiplicações por escalar; (b) alguns produtos de matrizes; (c) os traços das matrizes. As matrizes dadas são
Regra para soma de matrizes e aplicação ao caso A+B.\n
Conceito: só podemos somar matrizes que têm as mesmas dimensões. A soma é feita elemento a elemento: se X=(x_{ij}) e Y=(y_{ij}) são da mesma ordem, então X+Y=(x_{ij}+y_{ij}).\n
Aqui A e B são 2\times2, então somamos entrada a entrada:
Regra para multiplicação de matrizes e aplicação a A\cdot B.\n
Conceito: se X é m\times n e Y é n\times p, então XY é m\times p. A entrada na linha i e coluna j de XY é o produto escalar da linha i de X com a coluna j de Y:
(XY)_{ij}=\sum_{k=1}^{n} x_{ik}y_{kj}.
Aqui A e B são 2\times2. Calculemos entrada a entrada:
Calculando E\cdot F e observação útil sobre matrizes diagonais.\n
Observação: se E é diagonal com entradas e_{11},e_{22},\dots, então E\cdot F é obtida multiplicando cada linha i de F por e_{ii}. Isso porque a multiplicação por uma matriz diagonal escala as linhas (quando o diagonal está à esquerda) ou as colunas (quando o diagonal está à direita).\n
Aqui E=\operatorname{diag}(-1,3,2,-1). Então multiplicamos cada linha de F pelo correspondente escalar: