Considere o vetor
. Determine:
a. Um vetor com mesma direção e sentido de
e módulo 5 .
b. Um vetor unitário paralelo a
.
a. Um vetor com mesma direção e sentido de
b. Um vetor unitário paralelo a
Passo 1
O enunciado dá o vetor
e pede duas coisas:
a. Um vetor que tenha a mesma direção e o mesmo sentido de e que tenha módulo
.
b. Um vetor unitário (módulo ) que seja paralelo a
.
a. Um vetor que tenha a mesma direção e o mesmo sentido de
b. Um vetor unitário (módulo
Informações relevantes fornecidas:
. Não há nenhuma outra restrição além de “mesma direção e sentido” (isso significa que o vetor pedido deve ser um múltiplo escalar positivo de
) e “unitário paralelo” (significa vetor de módulo
alinhado com
).
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicados passo a passo):
- Módulo (norma) de um vetor no plano: para um vetor
definimos o módulo por
Aqui
é um número positivo que mede o “tamanho” de
. Ex.: se
então
.
- Multiplicação por escalar e efeito no módulo: para um escalar
e vetor ,
Isto significa que ao multiplicar um vetor por
o módulo escala por
, e o sentido só se mantém se
(se
o sentido inverte).
- Vetor unitário paralelo a
: um vetor unitário paralelo a é obtido dividindo pelo seu módulo:
pois então
e
tem a mesma direção e sentido que
(desde que
).
- Para obter um vetor com módulo desejado
e mesma direção/sentido de , basta tomar
porque
, e o fator
é positivo, preservando o sentido.
Passo 3
Calcular o módulo de
passo a passo usando a fórmula do Passo 2:
Portanto o tamanho do vetor dado é
.
Passo 4
Resolver a parte (a): queremos um vetor
com mesma direção e mesmo sentido de
e módulo
.
Pela explicação do Passo 2, tomamos
com
e
. Usando
(pois
), obtemos
Logo
Se você preferir ter o denominador racionalizado (sem raiz no denominador), multiplica-se numerador e denominador por
:
Passo 5
Verificação da parte (a) (fazendo a conta do módulo para confirmar que ficou
):
Calcule o módulo de
:
confirmando que o vetor tem módulo
. Como
, o sentido é o mesmo de
.
Passo 6
Resolver a parte (b): vetor unitário paralelo a
.
Pela fórmula do Passo 2, o vetor unitário
paralelo a
é
Racionalizando o denominador, obtemos
Passo 7
Verificação da parte (b) (confirmando que o vetor tem módulo
):
Calcule o módulo de
:
Portanto
é realmente unitário e paralelo a
.