Considere o vetor \vec{v}=(2,-3). Determine:
a. Um vetor com mesma direção e sentido de \vec{v} e módulo 5 .
b. Um vetor unitário paralelo a \vec{v}.

Passo 1

O enunciado dá o vetor \vec{v}=(2,-3) e pede duas coisas:
a. Um vetor que tenha a mesma direção e o mesmo sentido de \vec{v} e que tenha módulo 5.
b. Um vetor unitário (módulo 1) que seja paralelo a \vec{v}.
Informações relevantes fornecidas: \vec{v}=(2,-3). Não há nenhuma outra restrição além de “mesma direção e sentido” (isso significa que o vetor pedido deve ser um múltiplo escalar positivo de \vec{v}) e “unitário paralelo” (significa vetor de módulo 1 alinhado com \vec{v}).

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicados passo a passo):
  1. Módulo (norma) de um vetor no plano: para um vetor \vec{a}=(a_1,a_2) definimos o módulo por
\|\vec{a}\|=\sqrt{a_1^2+a_2^2}.
Aqui \|\vec{a}\| é um número positivo que mede o “tamanho” de \vec{a}. Ex.: se \vec{a}=(3,4) então \|\vec{a}\|=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5.
  1. Multiplicação por escalar e efeito no módulo: para um escalar k e vetor \vec{a},
\|k\vec{a}\| = |k|\,\|\vec{a}\|.
Isto significa que ao multiplicar um vetor por k o módulo escala por |k|, e o sentido só se mantém se k>0 (se k<0 o sentido inverte).
  1. Vetor unitário paralelo a \vec{a}: um vetor unitário paralelo a \vec{a} é obtido dividindo \vec{a} pelo seu módulo:
\hat{u}=\frac{\vec{a}}{\|\vec{a}\|},
pois então \|\hat{u}\|=1 e \hat{u} tem a mesma direção e sentido que \vec{a} (desde que \|\vec{a}\|\neq 0).
  1. Para obter um vetor com módulo desejado m>0 e mesma direção/sentido de \vec{a}, basta tomar
\vec{w} = \frac{m}{\|\vec{a}\|}\,\vec{a},
porque \|\vec{w}\| = \frac{m}{\|\vec{a}\|}\|\vec{a}\| = m, e o fator \frac{m}{\|\vec{a}\|} é positivo, preservando o sentido.

Passo 3

Calcular o módulo de \vec{v}=(2,-3) passo a passo usando a fórmula do Passo 2:
\|\vec{v}\|=\sqrt{2^2+(-3)^2}=\sqrt{4+9}=\sqrt{13}.
Portanto o tamanho do vetor dado é \sqrt{13}.

Passo 4

Resolver a parte (a): queremos um vetor \vec{w} com mesma direção e mesmo sentido de \vec{v} e módulo 5.
Pela explicação do Passo 2, tomamos
\vec{w} = k\vec{v}
com k>0 e \|k\vec{v}\| = 5. Usando \|k\vec{v}\| = k\|\vec{v}\| (pois k>0), obtemos
k \|\vec{v}\| = 5 \quad\Rightarrow\quad k = \frac{5}{\|\vec{v}\|} = \frac{5}{\sqrt{13}}.
Logo
\vec{w} = \frac{5}{\sqrt{13}}(2,-3) = \left(\frac{10}{\sqrt{13}}, -\frac{15}{\sqrt{13}}\right).
Se você preferir ter o denominador racionalizado (sem raiz no denominador), multiplica-se numerador e denominador por \sqrt{13}:
\vec{w} = \left(\frac{10\sqrt{13}}{13}, -\frac{15\sqrt{13}}{13}\right).

Passo 5

Verificação da parte (a) (fazendo a conta do módulo para confirmar que ficou 5):
Calcule o módulo de \vec{w}=\left(\dfrac{10}{\sqrt{13}}, -\dfrac{15}{\sqrt{13}}\right):
\|\vec{w}\| = \sqrt{\left(\frac{10}{\sqrt{13}}\right)^2 + \left(-\frac{15}{\sqrt{13}}\right)^2} = \sqrt{\frac{100}{13} + \frac{225}{13}} = \sqrt{\frac{325}{13}} = \sqrt{25} =5,
confirmando que o vetor tem módulo 5. Como k=\dfrac{5}{\sqrt{13}}>0, o sentido é o mesmo de \vec{v}.

Passo 6

Resolver a parte (b): vetor unitário paralelo a \vec{v}.
Pela fórmula do Passo 2, o vetor unitário \hat{u} paralelo a \vec{v} é
\hat{u} = \frac{\vec{v}}{\|\vec{v}\|} = \frac{(2,-3)}{\sqrt{13}} = \left(\frac{2}{\sqrt{13}}, -\frac{3}{\sqrt{13}}\right).
Racionalizando o denominador, obtemos
\hat{u} = \left(\frac{2\sqrt{13}}{13}, -\frac{3\sqrt{13}}{13}\right).

Passo 7

Verificação da parte (b) (confirmando que o vetor tem módulo 1):
Calcule o módulo de \hat{u}=\left(\dfrac{2}{\sqrt{13}}, -\dfrac{3}{\sqrt{13}}\right):
\|\hat{u}\| = \sqrt{\left(\frac{2}{\sqrt{13}}\right)^2 + \left(-\frac{3}{\sqrt{13}}\right)^2} = \sqrt{\frac{4}{13} + \frac{9}{13}} = \sqrt{\frac{13}{13}} = \sqrt{1} =1.
Portanto \hat{u} é realmente unitário e paralelo a \vec{v}.

Resposta

\left(\dfrac{10\sqrt{13}}{13}, -\dfrac{15\sqrt{13}}{13}\right)
\left(\dfrac{2\sqrt{13}}{13}, -\dfrac{3\sqrt{13}}{13}\right)

Exercícios relacionados