Determine todos os valores de a e de b para os quais o sistema:
(a) tem uma única solução;
(b) não tem solução;
(c) tem infinitas soluções. Nesse caso dê o conjunto solução do sistema.
e pede para determinar todos os valores de a e de b para os quais o sistema:
(a) tem uma única solução;
(b) não tem solução;
(c) tem infinitas soluções — e, nesse caso, fornecer o conjunto solução. \n
Informações relevantes: os coeficientes da incógnitas são dados pelos números nas três equações acima, e a e b são parâmetros que podem variar.]
Passo 2
Estratégia e justificativa do método (explicação didática):
Quando temos um sistema linear 3\times3 como esse, uma maneira prática de saber se existe uma única solução é verificar o determinante da matriz dos coeficientes. Se o determinante for diferente de zero, a matriz é invertível e o sistema tem única solução para qualquer vetor de termos constantes (qualquer b). Se o determinante for zero, a matriz não é invertível e então podemos ter ou nenhuma solução ou infinitas soluções — aí precisamos analisar a consistência comparando as equações (ou usar eliminação de Gauss para ver a dependência e compatibilidade).
Vou calcular o determinante da matriz dos coeficientes e, depois, tratar o caso em que esse determinante é zero fazendo eliminação para decidir entre incompatibilidade (nenhuma solução) ou dependência (infinitas soluções).
Passo 3
Escrevendo a matriz dos coeficientes e calculando o determinante:
A matriz dos coeficientes é
Se \det(A)\neq0 então o sistema tem única solução. Como \det(A)=10(a-4), isso ocorre exatamente quando a\neq4.
Portanto, para todo a\neq4 e para qualquer b\in\mathbb{R} o sistema tem uma única solução. (Não precisamos calcular a solução explícita aqui para responder (a), porque a invertibilidade garante existência e unicidade.)
Passo 5
Agora tratamos o caso crítico a=4 (quando \det(A)=0). Substituindo a=4 nas equações obtemos:
Aqui y é uma variável livre (não apareceu restrição adicional), então parametrizamos por y=t\in\mathbb{R} e obtemos
x=2-2t,\qquad y=t,\qquad z=\frac{1}{2}.
Portanto, quando a=4 e b=3 o sistema tem infinitas soluções (uma família linear unidimensional), descritas pelo parâmetro t.
Resposta
(a) a\neq4, qualquer b\in\mathbb{R}.\n
(b) a=4 e b\neq3.\n
(c) a=4 e b=3. Conjunto solução: \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid x=2-2t,\\ y=t,\\ z=\tfrac{1}{2},\\ t\in\mathbb{R}\}.