\left\{\begin{array}{r} x+2 y+2 z=b \\\\ 3 x+6 y-4 z=4 \\\\ 2 x+a y-6 z=1 \end{array}\right.
Determine todos os valores de a e de b para os quais o sistema:
(a) tem uma única solução;
(b) não tem solução;
(c) tem infinitas soluções. Nesse caso dê o conjunto solução do sistema.

Passo 1

O enunciado dá o sistema
\left\{\begin{array}{r} x+2y+2z=b\\[4pt] 3x+6y-4z=4\\[4pt] 2x+ay-6z=1 \end{array}\right.
e pede para determinar todos os valores de a e de b para os quais o sistema:
(a) tem uma única solução;
(b) não tem solução;
(c) tem infinitas soluções — e, nesse caso, fornecer o conjunto solução. \n
Informações relevantes: os coeficientes da incógnitas são dados pelos números nas três equações acima, e a e b são parâmetros que podem variar.]

Passo 2

Estratégia e justificativa do método (explicação didática):
  • Quando temos um sistema linear 3\times3 como esse, uma maneira prática de saber se existe uma única solução é verificar o determinante da matriz dos coeficientes. Se o determinante for diferente de zero, a matriz é invertível e o sistema tem única solução para qualquer vetor de termos constantes (qualquer b). Se o determinante for zero, a matriz não é invertível e então podemos ter ou nenhuma solução ou infinitas soluções — aí precisamos analisar a consistência comparando as equações (ou usar eliminação de Gauss para ver a dependência e compatibilidade).
  • Vou calcular o determinante da matriz dos coeficientes e, depois, tratar o caso em que esse determinante é zero fazendo eliminação para decidir entre incompatibilidade (nenhuma solução) ou dependência (infinitas soluções).

Passo 3

Escrevendo a matriz dos coeficientes e calculando o determinante:
A matriz dos coeficientes é
A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 2\\[4pt] 3 & 6 & -4\\[4pt] 2 & a & -6 \end{pmatrix}.
Calculo o determinante por expansão na primeira linha (mostrando cada passo):
\det(A)=1\cdot\det\begin{pmatrix}6 & -4\\[4pt] a & -6\end{pmatrix} -2\cdot\det\begin{pmatrix}3 & -4\\[4pt] 2 & -6\end{pmatrix} +2\cdot\det\begin{pmatrix}3 & 6\\[4pt] 2 & a\end{pmatrix}.
Agora cada menor:
\det\begin{pmatrix}6 & -4\\[4pt] a & -6\end{pmatrix}=6\cdot(-6)-(-4)\cdot a=-36+4a,
\det\begin{pmatrix}3 & -4\\[4pt] 2 & -6\end{pmatrix}=3\cdot(-6)-(-4)\cdot2=-18+8=-10,
\det\begin{pmatrix}3 & 6\\[4pt] 2 & a\end{pmatrix}=3\cdot a-6\cdot2=3a-12.
Substituindo:
\det(A)=( -36+4a ) -2\cdot(-10) +2\cdot(3a-12).
Calculemos passo a passo:
\det(A)=-36+4a+20+6a-24=10a-40=10(a-4).]

Passo 4

Interpretação do resultado do determinante:
  • Se \det(A)\neq0 então o sistema tem única solução. Como \det(A)=10(a-4), isso ocorre exatamente quando a\neq4.
  • Portanto, para todo a\neq4 e para qualquer b\in\mathbb{R} o sistema tem uma única solução. (Não precisamos calcular a solução explícita aqui para responder (a), porque a invertibilidade garante existência e unicidade.)

Passo 5

Agora tratamos o caso crítico a=4 (quando \det(A)=0). Substituindo a=4 nas equações obtemos:
\left\{\begin{array}{r} x+2y+2z=b\\[4pt] 3x+6y-4z=4\\[4pt] 2x+4y-6z=1 \end{array}\right.
Faço eliminação usando a primeira equação como pivô para eliminar x das outras duas:
  • Subtraio 3 vezes a primeira equação da segunda:
(3x+6y-4z)-3(x+2y+2z)=\;0x+0y+(-4-6)z=4-3b,
ou seja
-10z=4-3b.
  • Subtraio 2 vezes a primeira equação da terceira:
(2x+4y-6z)-2(x+2y+2z)=\;0x+0y+(-6-4)z=1-2b,
ou seja
-10z=1-2b.]

Passo 6

Analisando as duas equações obtidas para z:
Temos simultaneamente
-10z=4-3b\quad\text{e}\quad -10z=1-2b.
Para que exista z que satisfaça ambas, os lados direitos devem ser iguais:
4-3b=1-2b \quad\Longrightarrow\quad 4-1=3b-2b \quad\Longrightarrow\quad b=3.
  • Se a=4 e b\neq3, as duas equações dão valores distintos para -10z e o sistema é inconsistente — não tem solução.
  • Se a=4 e b=3, as duas equações coincidem. Substituindo b=3 em qualquer uma delas:
-10z=4-3\cdot3=4-9=-5 \quad\Longrightarrow\quad z=\frac{1}{2}.
Com z=\tfrac12, voltamos à primeira equação para obter x em função de y:
x+2y+2\cdot\frac{1}{2}=3 \quad\Longrightarrow\quad x+2y+1=3 \quad\Longrightarrow\quad x+2y=2.
Aqui y é uma variável livre (não apareceu restrição adicional), então parametrizamos por y=t\in\mathbb{R} e obtemos
x=2-2t,\qquad y=t,\qquad z=\frac{1}{2}.
Portanto, quando a=4 e b=3 o sistema tem infinitas soluções (uma família linear unidimensional), descritas pelo parâmetro t.

Resposta

(a) a\neq4, qualquer b\in\mathbb{R}.\n
(b) a=4 e b\neq3.\n
(c) a=4 e b=3. Conjunto solução: \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid x=2-2t,\\ y=t,\\ z=\tfrac{1}{2},\\ t\in\mathbb{R}\}.

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