As perguntas pedem:
(a) Calcular A B e B A.
(b) Calcular A+B^{t}.
(c) Calcular (B A)^{2}.
(d) Calcular (-2)A.
(e) Calcular \det(A B) e \det(B A).]
Passo 2
Relembrando regras e verificando dimensões (mini-aula rápida para não errar na prova): ao multiplicar duas matrizes, o número de colunas da primeira deve ser igual ao número de linhas da segunda; o produto tem dimensões (linhas da primeira) × (colunas da segunda). A transposta troca linhas por colunas. A multiplicação por escalar é feita entrada a entrada. O determinante só está definido para matrizes quadradas.
Portanto A B tem dimensão 3\times3 e está bem definida, e B A tem dimensão 2\times2 e também está bem definida. B^{t} terá dimensão 3\times2, portanto somável com A.
Passo 3
Calcular A B com o procedimento de produto linha × coluna (vou mostrar cada produto escalar):
Escrevo novamente as colunas de B (cada coluna é um vetor em \mathbb{R}^{2}):
Cálculos:
Primeira linha × primeira coluna: 2\cdot2+2\cdot1=4+2=6.
Primeira linha × segunda coluna: idem 6.
Segunda linha × primeira coluna: 1\cdot2+1\cdot1=3.
Segunda linha × segunda coluna: idem 3.
Observação útil (para a prova): a matriz BA tem linhas proporcionais ([2\\\ 2] é 2 vezes [1\\\ 1]), então é de posto 1 e por isso (BA)^2 ficou proporcional a BA (aqui (BA)^2=3\cdot BA) — ideia que ajuda em cálculos rápidos.]
Passo 7
Calcular (-2)A (multiplicação escalar): multiplicar cada entrada de A por -2:
Para \det(BA): BA é 2\times2, então uso a fórmula \det\begin{bmatrix}a&b\\[4pt]c&d\end{bmatrix}=ad-bc.
Aqui BA=\begin{bmatrix}2&2\\[4pt]1&1\end{bmatrix}, então
\det(BA)=2\cdot1-2\cdot1=2-2=0.
Para \det(AB): AB é 3\times3. Uma forma rápida de ver se \det(AB)=0 é usar o fato de posto: A tem no máximo posto 2 (pois é 3\times2), então AB tem posto \le2, logo não pode ter posto 3. Uma matriz 3\times3 de posto menor que 3 é singular, portanto seu determinante é 0.
Se preferir ver uma dependência linear explícita entre as linhas de AB (verificação direta), as linhas de