Considere as matrizes
A=\left[\begin{array}{ll} 2 & 1 \\\\ 1 & 0 \\\\ 0 & 1 \end{array}\right] \quad \text { e } \quad B=\left[\begin{array}{lll} 1 & 0 & 1 \\\\ 0 & 1 & 1 \end{array}\right] .
(a) Calcule A B e B A.
(b) Calcule A+B^{t}.
(c) Calcule (B A)^{2}
(d) Calcule (-2) A.
(e) Calcule \operatorname{det}(A B) e \operatorname{det}(B A).

Passo 1

O enunciado fornece as matrizes (estas são as informações dadas):
A=\begin{bmatrix}2 & 1 \\[4pt] 1 & 0 \\[4pt] 0 & 1\end{bmatrix},\qquad B=\begin{bmatrix}1 & 0 & 1 \\[4pt] 0 & 1 & 1\end{bmatrix}.
As perguntas pedem:
(a) Calcular A B e B A.
(b) Calcular A+B^{t}.
(c) Calcular (B A)^{2}.
(d) Calcular (-2)A.
(e) Calcular \det(A B) e \det(B A).]

Passo 2

Relembrando regras e verificando dimensões (mini-aula rápida para não errar na prova): ao multiplicar duas matrizes, o número de colunas da primeira deve ser igual ao número de linhas da segunda; o produto tem dimensões (linhas da primeira) × (colunas da segunda). A transposta troca linhas por colunas. A multiplicação por escalar é feita entrada a entrada. O determinante só está definido para matrizes quadradas.
Aqui:
A\\ \text{é }3\times2,\qquad B\\ \text{é }2\times3.éé
Portanto A B tem dimensão 3\times3 e está bem definida, e B A tem dimensão 2\times2 e também está bem definida. B^{t} terá dimensão 3\times2, portanto somável com A.

Passo 3

Calcular A B com o procedimento de produto linha × coluna (vou mostrar cada produto escalar):
Escrevo novamente as colunas de B (cada coluna é um vetor em \mathbb{R}^{2}):
\text{col}_1(B)=\begin{bmatrix}1\\[4pt]0\end{bmatrix},\quad \text{col}_2(B)=\begin{bmatrix}0\\[4pt]1\end{bmatrix},\quad \text{col}_3(B)=\begin{bmatrix}1\\[4pt]1\end{bmatrix}.
Agora cada entrada (AB)_{ij} é a linha i de A dot a coluna j de B.
Linha 1 de A é \begin{bmatrix}2 & 1\end{bmatrix}. Seus produtos com as colunas de B:
(AB)_{11}=2\cdot1+1\cdot0=2,\qquad (AB)_{12}=2\cdot0+1\cdot1=1,\qquad (AB)_{13}=2\cdot1+1\cdot1=3.
Linha 2 de A é \begin{bmatrix}1 & 0\end{bmatrix}. Produtos:
(AB)_{21}=1\cdot1+0\cdot0=1,\qquad (AB)_{22}=1\cdot0+0\cdot1=0,\qquad (AB)_{23}=1\cdot1+0\cdot1=1.
Linha 3 de A é \begin{bmatrix}0 & 1\end{bmatrix}. Produtos:
(AB)_{31}=0\cdot1+1\cdot0=0,\qquad (AB)_{32}=0\cdot0+1\cdot1=1,\qquad (AB)_{33}=0\cdot1+1\cdot1=1.
Portanto,
AB=\begin{bmatrix}2 & 1 & 3\\[4pt]1 & 0 & 1\\[4pt]0 & 1 & 1\end{bmatrix}.]

Passo 4

Calcular B A usando a mesma ideia (agora linhas de B e colunas de A).
Colunas de A:
\text{col}_1(A)=\begin{bmatrix}2\\[4pt]1\\[4pt]0\end{bmatrix},\qquad \text{col}_2(A)=\begin{bmatrix}1\\[4pt]0\\[4pt]1\end{bmatrix}.
Linha 1 de B é \begin{bmatrix}1 & 0 & 1\end{bmatrix}. Produtos:
(BA)_{11}=1\cdot2+0\cdot1+1\cdot0=2,\qquad (BA)_{12}=1\cdot1+0\cdot0+1\cdot1=2.
Linha 2 de B é \begin{bmatrix}0 & 1 & 1\end{bmatrix}. Produtos:
(BA)_{21}=0\cdot2+1\cdot1+1\cdot0=1,\qquad (BA)_{22}=0\cdot1+1\cdot0+1\cdot1=1.
Logo
BA=\begin{bmatrix}2 & 2\\[4pt]1 & 1\end{bmatrix}.]

Passo 5

Calcular A+B^{t}.
Primeiro a transposta B^{t} (trocar linhas por colunas):
B^{t}=\begin{bmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 1\\[4pt]1 & 1\end{bmatrix},
que é 3\times2, mesma dimensão de A. Somando entrada a entrada:
A+B^{t}=\begin{bmatrix}2+1 & 1+0\\[4pt]1+0 & 0+1\\[4pt]0+1 & 1+1\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}3 & 1\\[4pt]1 & 1\\[4pt]1 & 2\end{bmatrix}.]

Passo 6

Calcular (BA)^{2}. Já temos BA=\begin{bmatrix}2&2\\[4pt]1&1\end{bmatrix}. Multiplicamos BA por si mesma:
Faço o produto linha × coluna:
(BA)^2 = \begin{bmatrix}2 & 2\\[4pt]1 & 1\end{bmatrix} \begin{bmatrix}2 & 2\\[4pt]1 & 1\end{bmatrix}.
Cálculos:
Primeira linha × primeira coluna: 2\cdot2+2\cdot1=4+2=6.
Primeira linha × segunda coluna: idem 6.
Segunda linha × primeira coluna: 1\cdot2+1\cdot1=3.
Segunda linha × segunda coluna: idem 3.
Portanto
(BA)^2=\begin{bmatrix}6 & 6\\[4pt]3 & 3\end{bmatrix}.
Observação útil (para a prova): a matriz BA tem linhas proporcionais ( [2\\\ 2] é 2 vezes [1\\\ 1]), então é de posto 1 e por isso (BA)^2 ficou proporcional a BA (aqui (BA)^2=3\cdot BA) — ideia que ajuda em cálculos rápidos.]

Passo 7

Calcular (-2)A (multiplicação escalar): multiplicar cada entrada de A por -2:
(-2)A=\begin{bmatrix}-4 & -2\\[4pt]-2 & 0\\[4pt]0 & -2\end{bmatrix}.]

Passo 8

Calcular determinantes.
Para \det(BA): BA é 2\times2, então uso a fórmula \det\begin{bmatrix}a&b\\[4pt]c&d\end{bmatrix}=ad-bc.
Aqui BA=\begin{bmatrix}2&2\\[4pt]1&1\end{bmatrix}, então
\det(BA)=2\cdot1-2\cdot1=2-2=0.
Para \det(AB): AB é 3\times3. Uma forma rápida de ver se \det(AB)=0 é usar o fato de posto: A tem no máximo posto 2 (pois é 3\times2), então AB tem posto \le2, logo não pode ter posto 3. Uma matriz 3\times3 de posto menor que 3 é singular, portanto seu determinante é 0.
Se preferir ver uma dependência linear explícita entre as linhas de AB (verificação direta), as linhas de
AB=\begin{bmatrix}2 & 1 & 3\\[4pt]1 & 0 & 1\\[4pt]0 & 1 & 1\end{bmatrix}
satisfazem a combinação
\text{linha}_1 - 2\cdot\text{linha}_2 - 1\cdot\text{linha}_3 = \begin{bmatrix}0&0&0\end{bmatrix},
logo são linearmente dependentes e \det(AB)=0.
Portanto ambos os determinantes valem zero.]

Resposta

(a) \displaystyle AB=\begin{bmatrix}2 & 1 & 3\\[4pt]1 & 0 & 1\\[4pt]0 & 1 & 1\end{bmatrix},\qquad BA=\begin{bmatrix}2 & 2\\[4pt]1 & 1\end{bmatrix}
(b) \displaystyle A+B^{t}=\begin{bmatrix}3 & 1\\[4pt]1 & 1\\[4pt]1 & 2\end{bmatrix}
(c) \displaystyle (BA)^{2}=\begin{bmatrix}6 & 6\\[4pt]3 & 3\end{bmatrix}
(d) \displaystyle (-2)A=\begin{bmatrix}-4 & -2\\[4pt]-2 & 0\\[4pt]0 & -2\end{bmatrix}
(e) \displaystyle \det(AB)=0
\displaystyle \det(BA)=0]

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