Estude se os seguintes sistemas são consistentes:
(c) \left\{\begin{array}{l}x_{1}-2 x_{4}=-3 \\\\ 2 x_{2}+2 x_{3}=0 \\\ x_{3}+3 x_{4}=1 \\\\ -2 x_{1}+3 x_{2}+2 x_{3}+x_{4}=5\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o sistema linear abaixo é consistente (ou seja, se existe solução):
\left\{\begin{array}{l} x_{1}-2 x_{4}=-3 \\[4pt] 2 x_{2}+2 x_{3}=0 \\[4pt] x_{3}+3 x_{4}=1 \\[4pt] -2 x_{1}+3 x_{2}+2 x_{3}+x_{4}=5 \end{array}\right.
Informações relevantes fornecidas:
  • São quatro incógnitas: x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}.
  • São quatro equações lineares dadas acima.
  • O objetivo é decidir se existe alguma solução (consistência) e, se existir, descrevê-la.]

Passo 2

Escolha do método: aqui há equações simples que já isolam uma variável com facilidade (por exemplo a primeira e a terceira). Vou usar substituição direta: resolvo algumas equações elementares para obter variáveis em função de uma variável livre e depois substituo na equação restante. Explicação didática do método:
  • Substituição consiste em usar equações que permitem escrever uma variável em termos das outras e então substituir essas expressões nas demais equações.
  • Se, após substituições, obtiver uma identidade verdadeira (por exemplo 5=5) a equação era dependente e não introduz contradição — o sistema pode ter soluções infinitas se houver variáveis livres.
  • Se obtiver uma contradição (por exemplo 0=3), o sistema é inconsistente (sem solução).

Passo 3

Resolver as equações simples para expressar algumas variáveis em função de x_{4} (escolho x_{4} como parâmetro livre porque aparece nas equações simples):
Da primeira equação:
x_{1}-2x_{4}=-3
isolando x_{1}:
x_{1}=-3+2x_{4}.
Da segunda equação:
2x_{2}+2x_{3}=0
dividindo por 2:
x_{2}+x_{3}=0,
isolando x_{2}:
x_{2}=-x_{3}.
Da terceira equação:
x_{3}+3x_{4}=1
isolando x_{3}:
x_{3}=1-3x_{4}.
Agora substituo x_{3} na expressão de x_{2}:
x_{2}=-x_{3}=-\bigl(1-3x_{4}\bigr)=-1+3x_{4}.

Passo 4

Substituir x_{1},x_{2},x_{3} (em função de x_{4}) na quarta equação para verificar se há contradição:
A quarta equação é
-2x_{1}+3x_{2}+2x_{3}+x_{4}=5.
Substituindo x_{1}=-3+2x_{4}, x_{2}=-1+3x_{4}, x_{3}=1-3x_{4}:
Calcule cada termo separadamente:
-2x_{1}=-2\bigl(-3+2x_{4}\bigr)=6-4x_{4},
3x_{2}=3\bigl(-1+3x_{4}\bigr)=-3+9x_{4},
2x_{3}=2\bigl(1-3x_{4}\bigr)=2-6x_{4},
e o termo x_{4} permanece x_{4}.
Somando todos:
(6-4x_{4})+(-3+9x_{4})+(2-6x_{4})+x_{4}.
Agrupando constantes e coeficientes de x_{4}:
(6-3+2)+( -4+9-6+1 )x_{4}=5+0\cdot x_{4}=5.
Portanto a quarta equação reduz-se à identidade
5=5,
ou seja, não há contradição: a quarta equação é dependente das três primeiras (após substituição dá uma igualdade verdadeira para todo x_{4}).

Passo 5

Conclusão sobre consistência e descrição das soluções:
  • Como não surgiu nenhuma contradição, o sistema é consistente.
  • Há uma variável livre ( x_{4} pode ser escolhida arbitrariamente). Tomando t:=x_{4}\in\mathbb{R}, as outras variáveis ficam:
x_{3}=1-3t,\qquad x_{2}=-1+3t,\qquad x_{1}=-3+2t.
Expressão paramétrica da solução (forma vetor):
\bigl(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\bigr)=(-3,-1,1,0)+t\,(2,3,-3,1),\qquad t\in\mathbb{R}.
Isto mostra que existe infinitas soluções (uma família unidimensional parametrizada por t).

Resposta

O sistema é consistente; as soluções são
\bigl(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\bigr)=(-3+2t,\,-1+3t,\,1-3t,\,t),\qquad t\in\mathbb{R}.

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