Encontre a operação elementar de linha que transforma a primeira matriz na segunda e também no sentido inverso.
(a) \left[\begin{array}{ccc}0 & -2 & 5 \\\\ 1 & 4 & -7 \\\\ 3 & -1 & 6
\end{array}\right], \quad\left[\begin{array}{ccc}1 & 4 & -7 \\\\ 0 & -2 & 5 \\\\ 3 & -1 & 6
\end{array}\right]
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a operação elementar de linha que transforma a primeira matriz na segunda e também indicar a operação inversa.
As matrizes fornecidas são (copiadas do enunciado):
As duas matrizes têm as mesmas entradas, exceto que as linhas 1 e 2 parecem trocadas entre A e B.
A linha 3 é idêntica em A e B.]
Passo 2
Breve lembrança didática sobre operações elementares de linha (para saber que tipo de operação procurar):
Existem três tipos de operações elementares de linha:
trocar duas linhas: denotada por R_i \leftrightarrow R_j;
multiplicar uma linha por um escalar não nulo: kR_i (com k\neq0);
adicionar a uma linha um múltiplo de outra: R_i \leftarrow R_i + kR_j.
Essas são as únicas operações que transformam uma matriz por operações elementares de linha.
Determinar a operação inversa: para cada tipo de operação elementar existe uma operação inversa que restaura a matriz original.
No caso de trocar duas linhas, a própria troca é a inversa: trocar as mesmas duas linhas novamente desfaz a operação.
Ou seja, a inversa de R_1\leftrightarrow R_2 é novamente R_1\leftrightarrow R_2.
Explicação curta e intuitiva: se trocar R_1 com R_2 e depois trocar R_1 com R_2 de novo, cada linha volta ao lugar original.
Passo 6
Resumo e motivação para a prova (dica amiga): quando duas matrizes diferem apenas pela ordem de linhas, normalmente a operação é um ou vários trocas de linhas. Anote qual linha foi trocada com qual usando a notação R_i\leftrightarrow R_j. Lembre-se que trocar linhas é a única operação necessária aqui e que ela é sua própria inversa — isso facilita na hora de justificar a resposta em prova.