Encontre a operação elementar de linha que transforma a primeira matriz na segunda e também no sentido inverso.
(a) \left[\begin{array}{ccc}0 & -2 & 5 \\\\ 1 & 4 & -7 \\\\ 3 & -1 & 6 \end{array}\right], \quad\left[\begin{array}{ccc}1 & 4 & -7 \\\\ 0 & -2 & 5 \\\\ 3 & -1 & 6 \end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a operação elementar de linha que transforma a primeira matriz na segunda e também indicar a operação inversa.
As matrizes fornecidas são (copiadas do enunciado):
A=\begin{pmatrix} 0 & -2 & 5\\[4pt] 1 & 4 & -7\\[4pt] 3 & -1 & 6 \end{pmatrix}, \qquad B=\begin{pmatrix} 1 & 4 & -7\\[4pt] 0 & -2 & 5\\[4pt] 3 & -1 & 6 \end{pmatrix}.
Informações relevantes dadas:
  • As duas matrizes têm as mesmas entradas, exceto que as linhas 1 e 2 parecem trocadas entre A e B.
  • A linha 3 é idêntica em A e B.]

Passo 2

Breve lembrança didática sobre operações elementares de linha (para saber que tipo de operação procurar):
  • Existem três tipos de operações elementares de linha:
    1. trocar duas linhas: denotada por R_i \leftrightarrow R_j;
    2. multiplicar uma linha por um escalar não nulo: kR_i (com k\neq0);
    3. adicionar a uma linha um múltiplo de outra: R_i \leftarrow R_i + kR_j.
      Essas são as únicas operações que transformam uma matriz por operações elementares de linha.

Passo 3

Comparação direta das linhas de A e B:
Na matriz A:
R_1(A) = \begin{pmatrix}0 & -2 & 5\end{pmatrix},\qquad R_2(A) = \begin{pmatrix}1 & 4 & -7\end{pmatrix},\qquad R_3(A) = \begin{pmatrix}3 & -1 & 6\end{pmatrix}.
Na matriz B:
R_1(B) = \begin{pmatrix}1 & 4 & -7\end{pmatrix},\qquad R_2(B) = \begin{pmatrix}0 & -2 & 5\end{pmatrix},\qquad R_3(B) = \begin{pmatrix}3 & -1 & 6\end{pmatrix}.
Observação clara: R_1(B)=R_2(A), R_2(B)=R_1(A) e R_3(B)=R_3(A). Isto indica que B é obtida trocando a primeira e a segunda linha de A.

Passo 4

Escrever explicitamente a operação que faz essa troca: a operação elementar é a troca das linhas 1 e 2, que escrevemos como
R_1 \leftrightarrow R_2.
Aplicando essa operação à matriz A:
R_1\leftrightarrow R_2:\quad \begin{pmatrix} 0 & -2 & 5\\[4pt] 1 & 4 & -7\\[4pt] 3 & -1 & 6 \end{pmatrix} \longrightarrow \begin{pmatrix} 1 & 4 & -7\\[4pt] 0 & -2 & 5\\[4pt] 3 & -1 & 6 \end{pmatrix}=B.]

Passo 5

Determinar a operação inversa: para cada tipo de operação elementar existe uma operação inversa que restaura a matriz original.
  • No caso de trocar duas linhas, a própria troca é a inversa: trocar as mesmas duas linhas novamente desfaz a operação.
    Ou seja, a inversa de R_1\leftrightarrow R_2 é novamente R_1\leftrightarrow R_2.
Explicação curta e intuitiva: se trocar R_1 com R_2 e depois trocar R_1 com R_2 de novo, cada linha volta ao lugar original.

Passo 6

Resumo e motivação para a prova (dica amiga): quando duas matrizes diferem apenas pela ordem de linhas, normalmente a operação é um ou vários trocas de linhas. Anote qual linha foi trocada com qual usando a notação R_i\leftrightarrow R_j. Lembre-se que trocar linhas é a única operação necessária aqui e que ela é sua própria inversa — isso facilita na hora de justificar a resposta em prova.

Resposta

Operação: R_1 \leftrightarrow R_2
Inversa: R_1 \leftrightarrow R_2

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