Considere as matrizes A=\left[\begin{array}{cc}3 & 0 \\\\ -1 & 2 \\\\ 1 & 1\end{array}\right] ; B=\left[\begin{array}{cc}4 & -1 \\\\ 0 & 2\end{array}\right] ; C=\left[\begin{array}{ccc}1 & 4 & 2 \\\\ 3 & 1 & 5\end{array}\right] ; D=\left[\begin{array}{cc}2 & 1 \\\\ 1 & -2 \\\\ -5 & 3\end{array}\right] Em cada parte, calcule a expressão dada (se possível).
AB

Passo 1

O enunciado pede para calcular o produto das matrizes
A = \begin{pmatrix}3 & 0 \\[6pt] -1 & 2 \\[6pt] 1 & 1\end{pmatrix} \quad\text{e}\quad B = \begin{pmatrix}4 & -1 \\[6pt]0 & 2\end{pmatrix}.
O conteúdo principal aqui é multiplicação de matrizes: para saber se AB existe precisamos olhar as dimensões e depois aplicar a definição de cada elemento do produto.]

Passo 2

Verificamos as dimensões: A é 3\times2 e B é 2\times2, então o produto AB existe e será uma matriz 3\times2. Cada elemento (AB)_{ij} é dado por
(AB)_{ij} \;=\;\sum_{k=1}^{2} A_{ik}\,B_{kj}.

Passo 3

Agora calculamos linha a linha e coluna a coluna:
Para a linha 1 de A:
(AB)_{11} = 3\cdot4 + 0\cdot0 = 12, \quad (AB)_{12} = 3\cdot(-1) + 0\cdot2 = -3.
Para a linha 2 de A:
(AB)_{21} = (-1)\cdot4 + 2\cdot0 = -4, \quad (AB)_{22} = (-1)\cdot(-1) + 2\cdot2 = 1 + 4 = 5.
Para a linha 3 de A:
(AB)_{31} = 1\cdot4 + 1\cdot0 = 4, \quad (AB)_{32} = 1\cdot(-1) + 1\cdot2 = -1 + 2 = 1.

Resposta

AB = \begin{pmatrix} 12 & -3 \\[6pt] -4 & 5 \\[6pt] 4 & 1 \end{pmatrix}.]

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