(a) ( \mathbf{1} ponto) Encontre a inversa das matrizes N e R ou explique por que não são invertíveis.
(b) ( \mathbf{1 . 5} pontos) Se possível, escreva R e sua inversa como produto de matrizes elementares.
(c) ( \mathbf{1} ponto) Seja A uma matriz invertível de ordem n \times n. Mostre que, para qualquer matriz B de ordem m \times n, existe uma matriz X de ordem n \times m tal que A \cdot X=B.
(d) ( 0.5 ponto) Ache a matriz X tal que R \cdot X=N, onde N e R são as matrizes definidas acima.
Passo 1
Listando claramente o que o enunciado fornece e pede (dados extraídos do enunciado):
Perguntas:
(a) Encontrar a inversa de N e de R ou explicar por que não são invertíveis.
(b) Se possível, escrever R e R^{-1} como produto de matrizes elementares.
(c) Seja A invertível de ordem n\times n. Mostrar que, para qualquer matriz B de ordem n\times m, existe X de ordem n\times m tal que A\cdot X=B.
(d) Encontrar a matriz X tal que R\cdot X=N.
Observações de consistência de dimensões (importante para as contas):
N é 2\times3 e R é 2\times2.
Para que a igualdade A\cdot X=B faça sentido com A de ordem n\times n e X de ordem n\times m, B deve ser de ordem n\times m. Portanto, ao mostrar (c) vou considerar B de ordem n\times m (essa é a forma consistente para a equação).]
Passo 2
Entendimento da noção de invertibilidade e aplicação a N.
Conceito usado: apenas matrizes quadradas podem ter inversa no sentido usual (uma matriz M possui inversa M^{-1} se e somente se M é quadrada e existe M^{-1} tal que M M^{-1}=M^{-1}M=I). Matrizes não quadradas não têm inversa bilateral (pode haver inversas à esquerda ou à direita em casos especiais, mas não uma inversa quadrada usual).
Aplicando ao caso: N tem dimensão 2\times3, ou seja, não é quadrada.
Conclusão: \,N não é invertível (no sentido de inversa quadrada). Isto explica por que não existe N^{-1} quadrada.
Passo 3
Cálculo da inversa de R.
Fórmula prática para matriz 2\times2: se
M=\begin{bmatrix}a & b \\[4pt] c & d\end{bmatrix},
Aqui cada símbolo significa: a,b,c,d são as entradas de M; \det(M) é o determinante; o fator 1/(ad-bc) é o escalar que torna a multiplicação resultar na identidade.
Aplicando a R=\begin{bmatrix}1 & 3 \\[4pt] 0 & 3\end{bmatrix}:
Resultado: a multiplicação produz a matriz identidade, portanto o R^{-1} está correto.]
Passo 5
Conceito de matrizes elementares e como representam operações de linha.
Lembrete didático: uma matriz elementar é uma matriz obtida a partir da identidade por uma única operação elementar de linha (troca de linhas, multiplicar uma linha por escalar não nulo, ou adicionar múltiplo de uma linha a outra). Multiplicar uma matriz M à esquerda por uma matriz elementar corresponde a aplicar a operação de linha correspondente a M. Todas as matrizes elementares são invertíveis e a inversa também é elementar (a operação inversa).
Estratégia para (b): tentar obter R a partir da identidade aplicando operações de linha e registrar as matrizes elementares correspondentes; então escrever R como produto destas matrizes.
Passo 6
Construção de R como produto de matrizes elementares.
Começar com I_2=\begin{bmatrix}1&0\\[4pt]0&1\end{bmatrix}.
Operações de linha para chegar a R=\begin{bmatrix}1&3\\[4pt]0&3\end{bmatrix}:
Operação L_1 \leftarrow L_1 + 3L_2. A matriz elementar correspondente é
(Verificação rápida, opcional em prova): multiplicando R\cdot X obtém-se N; por exemplo a segunda linha de R\cdot X é 3 vezes a segunda linha de X, resultando em [-1,3,7], etc., conferindo com N.]