Considere as matrizes
N=\left[\begin{array}{ccc} 2 & 2 & 0 \\\\ -1 & 3 & 7 \end{array}\right], \quad R=\left[\begin{array}{cc} 1 & 3 \\\\ 0 & 3 \end{array}\right] .
(a) ( \mathbf{1} ponto) Encontre a inversa das matrizes N e R ou explique por que não são invertíveis.
(b) ( \mathbf{1 . 5} pontos) Se possível, escreva R e sua inversa como produto de matrizes elementares.
(c) ( \mathbf{1} ponto) Seja A uma matriz invertível de ordem n \times n. Mostre que, para qualquer matriz B de ordem m \times n, existe uma matriz X de ordem n \times m tal que A \cdot X=B.
(d) ( 0.5 ponto) Ache a matriz X tal que R \cdot X=N, onde N e R são as matrizes definidas acima.

Passo 1

Listando claramente o que o enunciado fornece e pede (dados extraídos do enunciado):
  • Matrizes dadas:
N=\begin{bmatrix}2 & 2 & 0 \\[4pt] -1 & 3 & 7\end{bmatrix},\qquad R=\begin{bmatrix}1 & 3 \\[4pt] 0 & 3\end{bmatrix}.
  • Perguntas:
    (a) Encontrar a inversa de N e de R ou explicar por que não são invertíveis.
    (b) Se possível, escrever R e R^{-1} como produto de matrizes elementares.
    (c) Seja A invertível de ordem n\times n. Mostrar que, para qualquer matriz B de ordem n\times m, existe X de ordem n\times m tal que A\cdot X=B.
    (d) Encontrar a matriz X tal que R\cdot X=N.
Observações de consistência de dimensões (importante para as contas):
  • N é 2\times3 e R é 2\times2.
  • Para que a igualdade A\cdot X=B faça sentido com A de ordem n\times n e X de ordem n\times m, B deve ser de ordem n\times m. Portanto, ao mostrar (c) vou considerar B de ordem n\times m (essa é a forma consistente para a equação).]

Passo 2

Entendimento da noção de invertibilidade e aplicação a N.
  • Conceito usado: apenas matrizes quadradas podem ter inversa no sentido usual (uma matriz M possui inversa M^{-1} se e somente se M é quadrada e existe M^{-1} tal que M M^{-1}=M^{-1}M=I). Matrizes não quadradas não têm inversa bilateral (pode haver inversas à esquerda ou à direita em casos especiais, mas não uma inversa quadrada usual).
  • Aplicando ao caso: N tem dimensão 2\times3, ou seja, não é quadrada.
  • Conclusão: \,N não é invertível (no sentido de inversa quadrada). Isto explica por que não existe N^{-1} quadrada.

Passo 3

Cálculo da inversa de R.
  • Fórmula prática para matriz 2\times2: se
M=\begin{bmatrix}a & b \\[4pt] c & d\end{bmatrix},
então, quando \det(M)=ad-bc\neq0,
M^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix}d & -b \\[4pt] -c & a\end{bmatrix}.
Aqui cada símbolo significa: a,b,c,d são as entradas de M; \det(M) é o determinante; o fator 1/(ad-bc) é o escalar que torna a multiplicação resultar na identidade.
  • Aplicando a R=\begin{bmatrix}1 & 3 \\[4pt] 0 & 3\end{bmatrix}:
\det(R)=1\cdot 3 - 3\cdot 0 = 3 \neq 0,
logo R é invertível. Usando a fórmula,
R^{-1}=\frac{1}{3}\begin{bmatrix}3 & -3 \\[4pt] 0 & 1\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}1 & -1 \\[4pt] 0 & \tfrac{1}{3}\end{bmatrix}.]

Passo 4

Verificação rápida de que o R^{-1} encontrado é correto (bom hábito para prova).
  • Calcular R\cdot R^{-1}:
\begin{bmatrix}1 & 3 \\[4pt] 0 & 3\end{bmatrix} \begin{bmatrix}1 & -1 \\[4pt] 0 & \tfrac{1}{3}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1\cdot1 + 3\cdot 0 & 1\cdot(-1) + 3\cdot \tfrac{1}{3} \\[4pt] 0\cdot1 + 3\cdot 0 & 0\cdot(-1) + 3\cdot \tfrac{1}{3} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & 1\end{bmatrix}.
  • Resultado: a multiplicação produz a matriz identidade, portanto o R^{-1} está correto.]

Passo 5

Conceito de matrizes elementares e como representam operações de linha.
  • Lembrete didático: uma matriz elementar é uma matriz obtida a partir da identidade por uma única operação elementar de linha (troca de linhas, multiplicar uma linha por escalar não nulo, ou adicionar múltiplo de uma linha a outra). Multiplicar uma matriz M à esquerda por uma matriz elementar corresponde a aplicar a operação de linha correspondente a M. Todas as matrizes elementares são invertíveis e a inversa também é elementar (a operação inversa).
  • Estratégia para (b): tentar obter R a partir da identidade aplicando operações de linha e registrar as matrizes elementares correspondentes; então escrever R como produto destas matrizes.

Passo 6

Construção de R como produto de matrizes elementares.
  • Começar com I_2=\begin{bmatrix}1&0\\[4pt]0&1\end{bmatrix}.
  • Operações de linha para chegar a R=\begin{bmatrix}1&3\\[4pt]0&3\end{bmatrix}:
    1. Operação L_1 \leftarrow L_1 + 3L_2. A matriz elementar correspondente é
    E_1=\begin{bmatrix}1 & 3 \\[4pt] 0 & 1\end{bmatrix},
    pois E_1\cdot I_2 = E_1 tem primeira linha [1,3] e segunda [0,1].
    1. Operação L_2 \leftarrow 3L_2 (multiplicar a segunda linha por 3). A matriz elementar correspondente é
    E_2=\begin{bmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & 3\end{bmatrix}.
  • Aplicando primeiro E_1 e depois E_2 (multiplicação à esquerda):
R = E_2\;E_1.
Verificação multiplicativa:
E_2 E_1 = \begin{bmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & 3\end{bmatrix} \begin{bmatrix}1 & 3 \\[4pt] 0 & 1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1 & 3 \\[4pt] 0 & 3\end{bmatrix}=R.]

Passo 7

Escrever R^{-1} como produto de matrizes elementares (usando inversas das E_i).
  • Como R=E_2 E_1, tem-se
R^{-1}=E_1^{-1} E_2^{-1}.
  • Inversas elementares (operacionais):
    • Inversa de E_1 (que fazia L_1\leftarrow L_1+3L_2) é a operação L_1\leftarrow L_1-3L_2, logo
    E_1^{-1}=\begin{bmatrix}1 & -3 \\[4pt] 0 & 1\end{bmatrix}.
    • Inversa de E_2 (que fazia L_2\leftarrow 3L_2) é multiplicar L_2 por 1/3, logo
    E_2^{-1}=\begin{bmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & \tfrac{1}{3}\end{bmatrix}.
  • Produto:
E_1^{-1}E_2^{-1}= \begin{bmatrix}1 & -3 \\[4pt] 0 & 1\end{bmatrix} \begin{bmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & \tfrac{1}{3}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1 & -1 \\[4pt] 0 & \tfrac{1}{3}\end{bmatrix},
que coincide com o R^{-1} calculado antes.]

Passo 8

Prova (construtiva) da parte (c): existência de X tal que A\cdot X=B.
  • Hipóteses: A é invertível n\times n e B tem ordem n\times m. Procuramos X de ordem n\times m satisfazendo A X = B.
  • Ideia direta: multiplicar ambos os lados da igualdade desejada à esquerda por A^{-1}. Se A X=B, então A^{-1}A X = A^{-1}B implica X = A^{-1}B.
  • Construção/mostração de existência: Defina explicitamente
X := A^{-1} B.
  • Verificação:
A X = A (A^{-1} B) = (A A^{-1}) B = I_n B = B.
  • Conclusão: para qualquer B de ordem n\times m, a matriz X=A^{-1}B (que é de ordem n\times m) satisfaz A X=B. Assim existe (e é dada explicitamente) X.

Passo 9

Aplicação direta para (d): encontrar X tal que R\cdot X = N.
  • Observação: R é invertível (Passo 3), N é 2\times3. Queremos X de ordem 2\times3 com R X = N.
  • Usando a construção do Passo 8, temos
X = R^{-1} N.
  • Já temos R^{-1}=\begin{bmatrix}1 & -1 \\[4pt] 0 & \tfrac{1}{3}\end{bmatrix} e N=\begin{bmatrix}2 & 2 & 0 \\[4pt] -1 & 3 & 7\end{bmatrix}.
  • Cálculo coluna a coluna (mais claro e prático em prova): escrevendo as colunas de N como n_1,n_2,n_3,
n_1=\begin{bmatrix}2\\[4pt]-1\end{bmatrix},\quad n_2=\begin{bmatrix}2\\[4pt]3\end{bmatrix},\quad n_3=\begin{bmatrix}0\\[4pt]7\end{bmatrix}.
Então as colunas de X são x_i=R^{-1} n_i.
  • Cálculos:
x_1= \begin{bmatrix}1 & -1 \\[4pt] 0 & \tfrac{1}{3}\end{bmatrix} \begin{bmatrix}2\\[4pt]-1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}2-(-1)\\[4pt] 0 + \tfrac{1}{3}(-1)\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}3\\[4pt]-\tfrac{1}{3}\end{bmatrix},
x_2= \begin{bmatrix}1 & -1 \\[4pt] 0 & \tfrac{1}{3}\end{bmatrix} \begin{bmatrix}2\\[4pt]3\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}2-3\\[4pt] 0 + \tfrac{1}{3}\cdot 3\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-1\\[4pt]1\end{bmatrix},
x_3= \begin{bmatrix}1 & -1 \\[4pt] 0 & \tfrac{1}{3}\end{bmatrix} \begin{bmatrix}0\\[4pt]7\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0-7\\[4pt] 0 + \tfrac{1}{3}\cdot 7\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-7\\[4pt]\tfrac{7}{3}\end{bmatrix}.
  • Assim
X=\begin{bmatrix} 3 & -1 & -7 \\[6pt] -\tfrac{1}{3} & 1 & \tfrac{7}{3} \end{bmatrix}.
  • (Verificação rápida, opcional em prova): multiplicando R\cdot X obtém-se N; por exemplo a segunda linha de R\cdot X é 3 vezes a segunda linha de X, resultando em [-1,3,7], etc., conferindo com N.]

Resposta

(a) N não é invertível (não é quadrada).
(a) R^{-1}=\begin{bmatrix}1 & -1 \\[4pt] 0 & \tfrac{1}{3}\end{bmatrix}.
(b) Escolhendo matrizes elementares
E_1=\begin{bmatrix}1 & 3 \\[4pt] 0 & 1\end{bmatrix},\qquad E_2=\begin{bmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & 3\end{bmatrix},
temos R=E_2E_1. Como E_1^{-1}=\begin{bmatrix}1 & -3 \\[4pt] 0 & 1\end{bmatrix} e E_2^{-1}=\begin{bmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & \tfrac{1}{3}\end{bmatrix}, segue
R^{-1}=E_1^{-1}E_2^{-1}=\begin{bmatrix}1 & -1 \\[4pt] 0 & \tfrac{1}{3}\end{bmatrix}.
(c) Para A invertível n\times n e qualquer B de ordem n\times m, basta tomar X=A^{-1}B, pois A(A^{-1}B)=B.
(d) X=R^{-1}N=\displaystyle\begin{bmatrix}3 & -1 & -7 \\[6pt] -\tfrac{1}{3} & 1 & \tfrac{7}{3}\end{bmatrix}.]

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