Dado o vetor vec{v}=(2,-3), encontrar o vetor paralelo a vec{v} tal que:
Seja do mesmo sentido do vec{v} e dois vezes o módulo de vec{v}.

Passo 1

O enunciado dá o vetor \vec{v}=(2,-3).
Pede-se: encontrar um vetor paralelo a \vec{v}, que seja do mesmo sentido de \vec{v} e cujo módulo seja duas vezes o módulo de \vec{v}.

Passo 2

Calcular o módulo (norma) de \vec{v}. Lembre que o módulo de um vetor \vec{v}=(v_1,v_2) em \mathbb{R}^2 é dado por \|\vec{v}\|=\sqrt{v_1^{2}+v_2^{2}}. Aplicando ao nosso vetor:
\|\vec{v}\|=\sqrt{2^{2}+(-3)^{2}}=\sqrt{4+9}=\sqrt{13}.

Passo 3

Entender a propriedade importante que vamos usar: multiplicar um vetor por um escalar k produz um vetor paralelo. Mais especificamente, para qualquer escalar k vale
\|k\vec{v}\|=|k|\;\|\vec{v}\|.
Isto significa que o fator que multiplica o vetor escala o módulo por |k|. Além disso, se k>0 o vetor k\vec{v} tem o mesmo sentido de \vec{v}; se k<0 tem sentido oposto.

Passo 4

Procuramos um escalar k tal que o vetor \vec{w}=k\vec{v} tenha módulo duas vezes o de \vec{v}, isto é
\|\vec{w}\|=2\|\vec{v}\|.
Usando a propriedade do passo anterior:
\|k\vec{v}\|=|k|\|\vec{v}\|=2\|\vec{v}\|.
Dividindo por \|\vec{v}\| (que é positivo), obtemos |k|=2. Como queremos o mesmo sentido de \vec{v}, escolhemos k>0, logo
k=2.

Passo 5

Agora calculamos o vetor pedido multiplicando \vec{v} por 2:
\vec{w}=2\vec{v}=2(2,-3)=(4,-6).

Passo 6

Checagem rápida do módulo de \vec{w}: pela fórmula,
\|\vec{w}\|=\sqrt{4^{2}+(-6)^{2}}=\sqrt{16+36}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}=2\|\vec{v}\|,
confirmando que \vec{w} tem mesmo sentido e módulo duas vezes maior que \vec{v}.

Resposta

\vec{w}=(4,-6)

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