Considere as matrizes
\mathrm{A}=\left(\begin{array}{ccc} 2 & 1 & 2 \\\\ 2 & 2 & -2 \\\\ 3 & 1 & 1 \end{array}\right) \quad X=\left(\begin{array}{c} x_{1} \\\ x_{2} \\\ x_{3} \end{array}\right)
(a) Mostre que a equação A X=X pode ser reescrita como (A-I) X=0 e use este resultado para resolver A X=X.
(b) Resolva A X=4 X.

Passo 1

O enunciado nos pede para resolver as equações da forma
A X = \lambda X
para \lambda=1 e \lambda=4. Isso é equivalente a
(A - \lambda I)\,X = 0,
ou seja, estamos procurando o núcleo (espaço nulo) das matrizes A - I e A - 4I.

Passo 2

Para \lambda=1 temos
A - I = \begin{pmatrix} 2-1 & 1 & 2 \\\\ 2 & 2-1 & -2 \\\\ 3 & 1 & 1-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\\\ 2 & 1 & -2 \\\\ 3 & 1 & 0 \end{pmatrix}.
Resolvendo
(A-I)\,X=0,\quad \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\\\ 2 & 1 & -2 \\\\ 3 & 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_1\x_2\x_3\end{pmatrix} =0,
fazemos eliminação de Gauss:
  1. R_2\leftarrow R_2-2R_1 e R_3\leftarrow R_3-3R_1 \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2\\\\ 0 & -1 & -6\\\\ 0 & -2 & -6 \end{pmatrix}.
  2. R_3\leftarrow R_3-2R_2 \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2\\\\ 0 & -1 & -6\\\\ 0 & 0 & 6 \end{pmatrix}.
As equações são
x_3=0,\quad -x_2-6x_3=0\;\Rightarrow\;x_2=0,\quad x_1+x_2+2x_3=0\;\Rightarrow\;x_1=0.
Logo, a única solução é o vetor nulo X=(0,0,0)^T.

Passo 3

Para \lambda=4 temos
A - 4I = \begin{pmatrix} 2-4 & 1 & 2 \\\\ 2 & 2-4 & -2 \\\\ 3 & 1 & 1-4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 1 & 2 \\\\ 2 & -2& -2\\\\ 3 & 1 & -3 \end{pmatrix}.
Resolvendo
(A-4I)\,X=0,
as equações são
-2x_1 + x_2 + 2x_3 = 0,\quad 2x_1 - 2x_2 -2x_3 = 0,\quad 3x_1 + x_2 -3x_3 = 0.
Somando a primeira à segunda obtemos -x_2=0\Rightarrow x_2=0. Substituindo em -2x_1+2x_3=0 x_1=x_3, e a terceira é redundante.
Assim a solução geral é
X = \begin{pmatrix}x_1\x_2\x_3\end{pmatrix} = t\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix},\quad t\in\mathbb{R}.

Resposta

(a) A única solução de A X = X é X=(0,0,0)^T.
(b) As soluções de A X = 4X são
X = t\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix},\quad t\in\mathbb{R}.

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