usando o método de matrizes elementares (Gauss–Jordan): em cada caso nós montamos [M\mid I], aplicamos operações de linha até obter [I\mid M^{-1}]. Se a eliminação falhar (linha nula ou determinante zero), M não é invertível.
Passo 2
Matrizes 2\times2. Para
M = \begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix},
o método de Gauss–Jordan leva ao mesmo resultado da fórmula
Matrizes 3\times3. Usamos Gauss–Jordan ou a fórmula pela adjunta (adjugate) que equivale a aplicação sistemática de operações elementares. Primeiro calculamos o determinante:
D=\begin{pmatrix}3&4&-1\\\ 1&0&3\\\ 2&5&-4\end{pmatrix}, \det D=-10\neq0,
por adjunta obtém-se
G=\begin{pmatrix}\tfrac15&\tfrac15&-\tfrac25\\[3pt]\tfrac15&\tfrac15&\tfrac1{10}\\[3pt]\tfrac15&-\tfrac45&\tfrac1{10}\end{pmatrix}.
Um atalho é multiplicar por 10, inverter, e depois reescalar. O resultado final é
tem a 3ª linha toda zero, logo \rank I<4 e não é invertível.]
Resposta
A^{-} ^{1}= \displaystyle\begin{pmatrix}-7&4\\\ 2&-1\end{pmatrix} B^{-} ^{1}= \displaystyle\begin{pmatrix}-\tfrac{5}{39}&\tfrac{2}{13}\\[3pt]\tfrac{4}{39}&\tfrac{1}{13}\end{pmatrix}
C não invertível
D^{-} ^{1}= \displaystyle\begin{pmatrix}\tfrac32&-\tfrac{11}{10}&-\tfrac65\\[3pt]-1&1&1\\[3pt]-\tfrac12&\tfrac{7}{10}&\tfrac25\end{pmatrix}
E não invertível
F^{-} ^{1}= \displaystyle\begin{pmatrix}\tfrac12&-\tfrac12&\tfrac12\\[3pt]-\tfrac12&\tfrac12&\tfrac12\\[3pt]\tfrac12&\tfrac12&-\tfrac12\end{pmatrix} G^{-} ^{1}= \displaystyle\begin{pmatrix}1&3&1\\\ 0&1&-1\\\ -2&2&0\end{pmatrix} H^{-} ^{1}= \displaystyle\begin{pmatrix}1&0&0&0\\[3pt]-\tfrac13&-\tfrac13&\tfrac23&0\\[3pt]0&\tfrac15&-\tfrac15&0\\[3pt]0&0&-\tfrac17&\tfrac17\end{pmatrix}
I não invertível]