Encontre a inversa das seguintes matrizes utilizando o M’etodo das Matrizes Elementares
\begin{array}{lll} \mathrm{A}=\left(\begin{array}{ll} 1 & 4 \\\\ 2 & 7 \end{array}\right) & \mathrm{B}=\left(\begin{array}{cc} -3 & 6 \\\\ 4 & 5 \end{array}\right) & \mathrm{C}=\left(\begin{array}{cc} 6 & -4 \\\\ -3 & 2 \end{array}\right) \\\ \mathrm{D}=\left(\begin{array}{ccc} 3 & 4 & -1 \\\\ 1 & 0 & 3 \\\\ 2 & 5 & -4 \end{array}\right) & \mathrm{E}=\left(\begin{array}{ccc} -1 & 3 & -4 \\\\ 2 & 4 & 1 \\\\ -4 & 2 & -9 \end{array}\right) & \mathrm{F}=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1 \\\\ 0 & 1 & 1 \\\\ 1 & 1 & 0 \end{array}\right) \\\ \mathrm{G}=\left(\begin{array}{ccc} 1 / 5 & 1 / 5 & -2 / 5 \\\\ 1 / 5 & 1 / 5 & 1 / 10 \\\\ 1 / 5 & -4 / 5 & 1 / 10 \end{array}\right) & \mathrm{H}=\left(\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\\\ 1 & 3 & 10 & 0 \\\\ 1 & 3 & 5 & 0 \\\\ 1 & 3 & 5 & 7 \end{array}\right) & \mathrm{I}=\left(\begin{array}{cccc} -8 & 17 & 2 & 1 / 3 \\\\ 4 & 0 & 2 / 5 & -9 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \\\\ -1 & 13 & 4 & 2 \end{array}\right) \end{array}

Passo 1

O enunciado pede a inversa, pelo método de matrizes elementares (Gauss–Jordan), de cada uma das matrizes A,B,C,D,E,F,G,H,I. Vamos, sempre que possível, usar fórmula direta em 2\times2, e para as 3\times3 e 4\times4 ou indicar singularidade ou aplicar operações de Gauss.

Passo 2

Para
A=\begin{pmatrix}1&4\\\ 2&7\end{pmatrix}
usamos a fórmula
A^{-1}=\frac1{\det A}\begin{pmatrix}a_{22}&-a_{12}\\\ -a_{21}&a_{11}\end{pmatrix},
onde \det A=1\cdot7-4\cdot2=7-8=-1. Logo
A^{-1}=-1\begin{pmatrix}7&-4\\\ -2&1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-7&4\\\ 2&-1\end{pmatrix}.

Passo 3

Para
B=\begin{pmatrix}-3&6\\\ 4&5\end{pmatrix}
temos \det B=(-3)\cdot5-6\cdot4=-15-24=-39. Assim
B^{-1}=\frac1{-39}\begin{pmatrix}5&-6\\\ -4&-3\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-\tfrac{5}{39}&\tfrac{6}{39}\\[6pt]\tfrac{4}{39}&-\tfrac{3}{39}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-\tfrac{5}{39}&\tfrac{2}{13}\\[3pt]\tfrac{4}{39}&-\tfrac{1}{13}\end{pmatrix}.]

Passo 4

Para
C=\begin{pmatrix}6&-4\\\ -3&2\end{pmatrix} \det C=6\cdot2-(-4)\cdot(-3)=12-12=0. Logo C é singular e não tem inversa.

Passo 5

Para
D=\begin{pmatrix}3&4&-1\\\ 1&0&3\\\ 2&5&-4\end{pmatrix}
calculamos \det D=-10 (por expansão) e o adjugado. O resultado é
D^{-1}=-\tfrac1{10} \begin{pmatrix}-15&11&12\\\ 10&-10&-10\\\ 5&-7&-4\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\tfrac{3}{2}&-\tfrac{11}{10}&-\tfrac{6}{5}\\[4pt]-1&1&1\\[4pt]-\tfrac12&\tfrac{7}{10}&\tfrac{2}{5}\end{pmatrix}.]

Passo 6

Para
E=\begin{pmatrix}-1&3&-4\\\ 2&4&1\\\ -4&2&-9\end{pmatrix}
temos, por cálculo do determinante, \det E=0. Logo E é singular e não tem inversa.

Passo 7

Para
F=\begin{pmatrix}1&0&1\\\ 0&1&1\\\ 1&1&0\end{pmatrix} \det F=-2 e o adjugado leva a
F^{-1}=-\tfrac1{2} \begin{pmatrix}-1&1&-1\\\ 1&-1&-1\\\ -1&-1&1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\tfrac12&-\tfrac12&\tfrac12\\[3pt]-\tfrac12&\tfrac12&\tfrac12\\[3pt]\tfrac12&\tfrac12&-\tfrac12\end{pmatrix}.]

Passo 8

Para
G=\begin{pmatrix}\tfrac15&\tfrac15&-\tfrac25\\[3pt]\tfrac15&\tfrac15&\tfrac1{10}\\[3pt]\tfrac15&-\tfrac45&\tfrac1{10}\end{pmatrix}
fazendo Gauss–Jordan (ou escalações em bloco) obtém-se
G^{-1} =\begin{pmatrix}1&3&1\\\ 0&1&-1\\\ -2&2&0\end{pmatrix}.]

Passo 9

Para
H=\begin{pmatrix} 1&0&0&0\\\\ 1&3&10&0\\\\ 1&3&5&0\\\\ 1&3&5&7 \end{pmatrix}
vemos pela primeira linha que x_1=y_1; subtrações sucessivas nas linhas 2 e 3 e uso da linha 4 dão
H^{-1} =\begin{pmatrix} 1&0&0&0\\[3pt] -\tfrac13&-\tfrac13&\tfrac23&0\\[3pt] 0&\tfrac15&-\tfrac15&0\\[3pt] 0&0&-\tfrac17&\tfrac17 \end{pmatrix}.]

Passo 10

Em
I=\begin{pmatrix} -8&17&2&\tfrac13\\\\ 4&0&\tfrac25&-9\\\\ 0&0&0&0\\\\ -1&13&4&2 \end{pmatrix}
a terceira linha é nula, logo \det I=0 e I não é invertível.

Resposta

A^{-1}= \begin{pmatrix}-7&4\\2&-1\end{pmatrix}\
B^{-1}= \begin{pmatrix}-\tfrac{5}{39}&\tfrac{2}{13}\\[3pt]\tfrac{4}{39}&-\tfrac{1}{13}\end{pmatrix}\
C não é inversível\
D^{-1}= \begin{pmatrix}\tfrac{3}{2}&-\tfrac{11}{10}&-\tfrac{6}{5}\\[4pt]-1&1&1\\[4pt]-\tfrac12&\tfrac{7}{10}&\tfrac{2}{5}\end{pmatrix}\
E não é inversível\
F^{-1}= \begin{pmatrix}\tfrac12&-\tfrac12&\tfrac12\\[3pt]-\tfrac12&\tfrac12&\tfrac12\\[3pt]\tfrac12&\tfrac12&-\tfrac12\end{pmatrix}\
G^{-1}= \begin{pmatrix}1&3&1\\0&1&-1\\-2&2&0\end{pmatrix}\
H^{-1}= \begin{pmatrix} 1&0&0&0\\[3pt] -\tfrac13&-\tfrac13&\tfrac23&0\\[3pt] 0&\tfrac15&-\tfrac15&0\\[3pt] 0&0&-\tfrac17&\tfrac17 \end{pmatrix}\
I não é inversível]

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