Considere as matrizes
\mathrm{A}=\left[\begin{array}{ccc} 1 & -1 & 2 \\\\ 0 & 3 & 4 \end{array}\right] \quad \mathrm{B}=\left[\begin{array}{ccc} 4 & 0 & -3 \\\\ -1 & -2 & 3 \end{array}\right] \quad \mathrm{C}=\left[\begin{array}{cccc} 2 & -3 & 0 & 1 \\\\ 5 & -1 & -4 & 2 \\\\ -1 & 0 & 0 & 3 \end{array}\right] \quad \mathrm{D}=\left[\begin{array}{c} 2 \\\\ -1 \\\\ 3 \end{array}\right]
Encontre, se possivel,
e) AC

Passo 1

O enunciado nos dá as matrizes
A\in\mathbb{R}^{2\times3},\quad C\in\mathbb{R}^{3\times4}
e pede o produto AC. Para resolver, precisamos lembrar que a multiplicação de uma matriz A de tamanho m\times n por uma matriz C de tamanho n\times p é possível e gera uma matriz AC de tamanho m\times p.

Passo 2

A regra geral para o produto de matrizes diz que cada elemento (AC)_{ij} é dado por
(AC)_{ij} \;=\;\sum_{k=1}^{n} A_{ik}\,C_{kj}.
Aqui temos m=2, n=3 e p=4, logo AC será 2\times4.

Passo 3

Vamos calcular a primeira linha de AC usando a primeira linha de A, que é \bigl[1,\,-1,\,2\bigr]. Para cada coluna j de C:
(AC)_{1j} =1\cdot C_{1j}+(-1)\cdot C_{2j}+2\cdot C_{3j}.
Isso dá:
(AC)_{11}=1\cdot2 +(-1)\cdot5 +2\cdot(-1)=-5, \quad (AC)_{12}=1\cdot(-3)+(-1)\cdot(-1)+2\cdot0=-2,
(AC)_{13}=1\cdot0 +(-1)\cdot(-4)+2\cdot0=4, \quad (AC)_{14}=1\cdot1 +(-1)\cdot2 +2\cdot3=5.

Passo 4

Agora a segunda linha de AC vem da segunda linha de A, que é \bigl[0,\,3,\,4\bigr]. Para cada coluna j de C:
(AC)_{2j} =0\cdot C_{1j}+3\cdot C_{2j}+4\cdot C_{3j}.
Isso resulta em:
(AC)_{21}=0\cdot2 +3\cdot5 +4\cdot(-1)=11, \quad (AC)_{22}=0\cdot(-3)+3\cdot(-1)+4\cdot0=-3,
(AC)_{23}=0\cdot0 +3\cdot(-4)+4\cdot0=-12, \quad (AC)_{24}=0\cdot1 +3\cdot2 +4\cdot3=18.

Resposta

AC = \begin{pmatrix} -5 & -2 & 4 & 5\\\\ 11 & -3 & -12 & 18 \end{pmatrix}

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