Considere as matrizes
\mathrm{A}=\left[\begin{array}{ccc} 1 & -1 & 2 \\\\ 0 & 3 & 4 \end{array}\right] \quad \mathrm{B}=\left[\begin{array}{ccc} 4 & 0 & -3 \\\\ -1 & -2 & 3 \end{array}\right] \quad \mathrm{C}=\left[\begin{array}{cccc} 2 & -3 & 0 & 1 \\\\ 5 & -1 & -4 & 2 \\\\ -1 & 0 & 0 & 3 \end{array}\right] \quad \mathrm{D}=\left[\begin{array}{c} 2 \\\\ -1 \\\\ 3 \end{array}\right]
Encontre, se possivel,
m) B^{\prime} A

Passo 1

O enunciado dá quatro matrizes
A\in\mathbb{R}^{2\times3},\quad B\in\mathbb{R}^{2\times3},\quad C\in\mathbb{R}^{3\times4},\quad D\in\mathbb{R}^{3\times1}
e pede para calcular B' A, ou seja, a transposta de B multiplicada por A. O conteúdo aqui é transposição de matriz e multiplicação de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever B e depois obter B' = B^{T}.
B = \begin{bmatrix} 4 & 0 & -3\\\\ -1 & -2 & 3 \end{bmatrix} \quad\Longrightarrow\quad B' = \begin{bmatrix} 4 & -1\\\\ 0 & -2\\\\ -3 & 3 \end{bmatrix}.

Passo 3

Verificamos dimensões: B' é 3\times2 e A é 2\times3. A multiplicação B'A é válida e resultará em uma matriz 3\times3.

Passo 4

Para obter o elemento (i,j) de B'A, fazemos o produto escalar da i-ésima linha de B' com a j-ésima coluna de A. Como
A = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 2\\\\ 0 & 3 & 4 \end{bmatrix},
calculamos linha a linha:
  1. Primeira linha de B': [4,\,-1]
[4,-1]\begin{bmatrix}1\\\ 0\end{bmatrix}=4,\quad [4,-1]\begin{bmatrix}-1\\\ 3\end{bmatrix}=-4-3=-7,\quad [4,-1]\begin{bmatrix}2\\\ 4\end{bmatrix}=8-4=4.
  1. Segunda linha de B': [0,\,-2]
[0,-2]\begin{bmatrix}1\\\ 0\end{bmatrix}=0,\quad [0,-2]\begin{bmatrix}-1\\\ 3\end{bmatrix}=0-6=-6,\quad [0,-2]\begin{bmatrix}2\\\ 4\end{bmatrix}=0-8=-8.
  1. Terceira linha de B': [-3,\,3]
[-3,3]\begin{bmatrix}1\\\ 0\end{bmatrix}=-3,\quad [-3,3]\begin{bmatrix}-1\\\ 3\end{bmatrix}=3+9=12,\quad [-3,3]\begin{bmatrix}2\\\ 4\end{bmatrix}=-6+12=6.

Passo 5

Juntando todos os resultados, obtemos
B'A = \begin{bmatrix} 4 & -7 & 4\\\\ 0 & -6 & -8\\\\ -3 & 12 & 6 \end{bmatrix}.

Resposta

B'A = \begin{bmatrix} 4 & -7 & 4\\\\ 0 & -6 & -8\\\\ -3 & 12 & 6 \end{bmatrix}.

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