Considere as matrizes A \in M_{4 \times 5}, B \in M_{5 \times 9} e C=A B tais que a_{i j}=i-j e b_{i j}=j. Qual a ordem de C ? Encontre c_{36}.

Passo 1

O enunciado dá as matrizes A\in M_{4\times5} e B\in M_{5\times9} com entradas
a_{ij}=i-j, \quad b_{ij}=j,
e pede a ordem da matriz C=AB e o valor de c_{36}. O conteúdo é multiplicação de matrizes: determinar dimensão do produto e calcular uma entrada via soma de produtos.

Passo 2

Para matrizes A de ordem 4\times5 e B de ordem 5\times9, o produto C=AB existe e tem ordem obtida unindo as dimensões exteriores:
\text{ordem}\text{(C)}=4\times9.

Passo 3

Pela definição de multiplicação, a entrada genérica de C é
c_{ij} = \sum_{k=1}^{5}a_{ik}\,b_{kj}.
Para i=3 e j=6, como b_{k6}=6 para todo k,
c_{36} = \sum_{k=1}^{5}(3-k)\cdot6.

Passo 4

Calcule a soma interna:
\sum_{k=1}^{5}(3-k) =(3-1)+(3-2)+(3-3)+(3-4)+(3-5) =2+1+0-1-2 =0.

Passo 5

Portanto,
c_{36}=6\cdot0=0.

Resposta

A matriz C tem ordem 4\times9.
O elemento c_{36} vale 0.

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