Considere a maximização de
sob a restrição
.
- Tente aplicar o método de Lagrange e mostre que o sistema não possui solução para
.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Função objetivo:
. - Restrição:
. - Implicitamente, como aparecem raízes quadradas, temos o domínio
. - Pedido: “Tente aplicar o método de Lagrange e mostre que o sistema não possui solução para
.”
Passo 2
Explicando o que é o método que vamos usar (a ideia, passo a passo curto e simples).
- O método de multiplicadores de Lagrange procura pontos
sujeitos à restrição onde o gradiente de é paralelo ao gradiente da restrição. - Para isso definimos a função de Lagrange
, que combina a objetivo e a restrição com um multiplicador . Aqui a restrição é . - A função de Lagrange é
- As equações que devem ser satisfeitas (sistema de Lagrange) são as derivadas parciais iguais a zero:
onde a última é a própria restrição
.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais (com atenção: derivada de
é
para
).
- Derivada em relação a
:
A condição
dá
- Derivada em relação a
:
A condição
dá
- A terceira equação é a restrição:
Passo 4
Isolar
em cada uma das primeiras duas equações (presumindo
e
para podermos dividir por
e
; o caso
ou
será comentado depois).
- Da equação em
:
- Da equação em
:
Passo 5
Comparar as duas expressões para
. Igualando:
Reescrevendo,
Agora use uma observação simples sobre raízes quadradas: por definição
e
. Então o membro esquerdo é não negativo e o membro direito é não positivo (é um negativo multiplicado por algo não negativo). A única maneira de ter igualdade é que ambos os lados sejam zero simultaneamente, isto é
Mas isso violaria a restrição
, porque
. Portanto não existe par
com
que satisfaça simultaneamente as duas equações de derivada e a restrição quando assumimos
finito e não nulo.
Passo 6
Verificação do caso-posto
ou
e do caso
:
- Se
então . Nesse ponto a derivada não é bem definida porque aparece . O método padrão de Lagrange exige derivabilidade; pontos onde a restrição não é diferenciável (aqui em ou ) precisam ser tratados separadamente. Mesmo assim, os candidatos ou não podem satisfazer a igualdade obtida ao igualar as duas expressões de sem violar a restrição, como vimos. - Se
, então das equações de derivada teríamos e , o que é impossível. Logo não há solução com também.
Passo 7
Conclusão lógica e interpretação direta do que foi pedido:
- A tentativa direta de aplicar multiplicadores de Lagrange levando às equações
leva, para
, à contradição
que só poderia ser satisfeita por
, o que não respeita a restrição. Portanto não existem soluções do sistema de Lagrange com
. Também não há solução com
.
Resposta
Não existe solução do sistema de equações de Lagrange com
.