Considere a maximização de f(x, y)=2 x-3 y sob a restrição \sqrt{x}+\sqrt{y}=5.
  1. Tente aplicar o método de Lagrange e mostre que o sistema não possui solução para \lambda \neq 0.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Função objetivo: f(x,y)=2x-3y.
  • Restrição: \sqrt{x}+\sqrt{y}=5.
  • Implicitamente, como aparecem raízes quadradas, temos o domínio \;x\ge 0,\;y\ge 0.
  • Pedido: “Tente aplicar o método de Lagrange e mostre que o sistema não possui solução para \lambda\neq 0.”

Passo 2

Explicando o que é o método que vamos usar (a ideia, passo a passo curto e simples).
  • O método de multiplicadores de Lagrange procura pontos (x,y) sujeitos à restrição onde o gradiente de f é paralelo ao gradiente da restrição.
  • Para isso definimos a função de Lagrange \mathcal{L}(x,y,\lambda), que combina a objetivo e a restrição com um multiplicador \lambda. Aqui a restrição é g(x,y)=\sqrt{x}+\sqrt{y}-5=0.
  • A função de Lagrange é
\mathcal{L}(x,y,\lambda)=f(x,y)+\lambda\,g(x,y)=2x-3y+\lambda\bigl(\sqrt{x}+\sqrt{y}-5\bigr).
  • As equações que devem ser satisfeitas (sistema de Lagrange) são as derivadas parciais iguais a zero:
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial x}=0,\qquad \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial y}=0,\qquad \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\lambda}=0,
onde a última é a própria restrição g(x,y)=0.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais (com atenção: derivada de \sqrt{x} é \dfrac{1}{2\sqrt{x}} para x>0).
  • Derivada em relação a x:
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial x}=2+\lambda\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}.
A condição \dfrac{\partial\mathcal{L}}{\partial x}=0
2+\lambda\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}=0.
  • Derivada em relação a y:
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial y}=-3+\lambda\cdot\frac{1}{2\sqrt{y}}.
A condição \dfrac{\partial\mathcal{L}}{\partial y}=0
-3+\lambda\cdot\frac{1}{2\sqrt{y}}=0.
  • A terceira equação é a restrição:
\sqrt{x}+\sqrt{y}=5.

Passo 4

Isolar \lambda em cada uma das primeiras duas equações (presumindo x>0 e y>0 para podermos dividir por \sqrt{x} e \sqrt{y}; o caso x=0 ou y=0 será comentado depois).
  • Da equação em x:
2+\lambda\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}=0 \quad\Longrightarrow\quad \lambda\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}=-2 \quad\Longrightarrow\quad \lambda=-4\sqrt{x}.
  • Da equação em y:
-3+\lambda\cdot\frac{1}{2\sqrt{y}}=0 \quad\Longrightarrow\quad \lambda\cdot\frac{1}{2\sqrt{y}}=3 \quad\Longrightarrow\quad \lambda=6\sqrt{y}.

Passo 5

Comparar as duas expressões para \lambda. Igualando:
-4\sqrt{x}=6\sqrt{y}.
Reescrevendo,
\sqrt{x}=-\frac{6}{4}\sqrt{y}=-\frac{3}{2}\sqrt{y}.
Agora use uma observação simples sobre raízes quadradas: por definição \sqrt{x}\ge 0 e \sqrt{y}\ge 0. Então o membro esquerdo é não negativo e o membro direito é não positivo (é um negativo multiplicado por algo não negativo). A única maneira de ter igualdade é que ambos os lados sejam zero simultaneamente, isto é
\sqrt{x}=0\quad\text{e}\quad\sqrt{y}=0.
Mas isso violaria a restrição \sqrt{x}+\sqrt{y}=5, porque 0+0\neq 5. Portanto não existe par (x,y) com x\ge0,y\ge0 que satisfaça simultaneamente as duas equações de derivada e a restrição quando assumimos \lambda finito e não nulo.

Passo 6

Verificação do caso-posto x=0 ou y=0 e do caso \lambda=0:
  • Se \sqrt{x}=0 então x=0. Nesse ponto a derivada \dfrac{\partial\mathcal{L}}{\partial x} não é bem definida porque aparece \dfrac{1}{\sqrt{x}}. O método padrão de Lagrange exige derivabilidade; pontos onde a restrição não é diferenciável (aqui em x=0 ou y=0) precisam ser tratados separadamente. Mesmo assim, os candidatos x=0 ou y=0 não podem satisfazer a igualdade obtida ao igualar as duas expressões de \lambda sem violar a restrição, como vimos.
  • Se \lambda=0, então das equações de derivada teríamos 2=0 e -3=0, o que é impossível. Logo não há solução com \lambda=0 também.

Passo 7

Conclusão lógica e interpretação direta do que foi pedido:
  • A tentativa direta de aplicar multiplicadores de Lagrange levando às equações
2+\lambda\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}=0,\qquad -3+\lambda\cdot\frac{1}{2\sqrt{y}}=0,\qquad \sqrt{x}+\sqrt{y}=5
leva, para \lambda\neq 0, à contradição \sqrt{x}=-\tfrac{3}{2}\sqrt{y} que só poderia ser satisfeita por \sqrt{x}=\sqrt{y}=0, o que não respeita a restrição. Portanto não existem soluções do sistema de Lagrange com \lambda\neq 0. Também não há solução com \lambda=0.

Resposta

Não existe solução do sistema de equações de Lagrange com \lambda\neq 0.

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