Encontre o valor máximo de
sobre a curva formada pela interseção do plano
com o plano
.
- Utilize dois multiplicadores
para montar o sistema de equações lineares.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar o valor máximo de
sobre a curva que é a interseção dos planos
e
Informações dadas:
- A função objetiva é
. - As restrições são as duas equações dos planos acima.
O enunciado também pede explicitamente usar dois multiplicadores de Lagrangepara montar o sistema de equações lineares. Não se resolve nada neste passo além de identificar o pedido e listar os dados.
Passo 2
Ideia do método (explicação didática): quando queremos extremizar uma função
sujeita a duas restrições
e
, introduzimos a função lagrangiana
A condição de extremalidade (para pontos regulares das restrições) é que o gradiente de
seja combinação linear dos gradientes das restrições:
Aqui cada componente desta igualdade gera uma equação linear. Vou aplicar isso ao nosso caso. Explicando os símbolos:
-
é o vetor das derivadas parciais de : . -
e são os multiplicadores de Lagrange, números reais que ajustam a combinação linear dos gradientes das restrições.
Passo 3
Defino as funções restrição:
Calculo os gradientes:
A condição
traduz-se componente a componente em:
Essas são três equações lineares. Junto com as duas restrições originais obtemos o sistema que pede o enunciado.
Passo 4
Escrevo explicitamente o sistema linear completo (são cinco equações, cinco incógnitas
Isto é exatamente o sistema obtido usando dois multiplicadores ((\lambda,\mu)]. Agora vamos resolver passo a passo.]
Passo 5
Resolvo as equações que envolvem
e
para eliminar
e obter relações entre
.
Da primeira e terceira:
Subtraindo a primeira da terceira:
Da segunda:
Substituo
em
:
Agora igualo as duas expressões para
:
Ou escrita conveniente:
Esta é uma relação linear entre
obtida a partir das condições de Lagrange.
Passo 6
Agora resolvo o sistema linear formado pelas três equações em
Faço combinações simples:
- Somando a primeira com a segunda:
Chamo isso de (A):
.
Agora expresso
e
em termos de
:
- De (A):
. - De (B):
.
Substituo estas expressões na relação
:
Calculando passo a passo:
Multiplicando por
:
Passo 7
Com
obtenho
e
:
Verificação rápida nas restrições:
Portanto o ponto crítico é
Passo 8
Calculo o valor de
nesse ponto:
Faço as contas:
Somando:
Simplificando
e
, obtemos
Passo 9
Classificação do extremo e resposta ao pedido “valor máximo”: a função
é definida por uma forma quadrática com matriz diagonal
, que é positiva definida. Isso implica que
é estritamente convexa e cresce indefinidamente quando
. A interseção dos dois planos é uma reta (curva não-bounded); ao percorrer essa reta em ambas as direções, a norma cresce e portanto
tende a
. Para ver isto de maneira concreta, note que um vetor diretor da reta é, por exemplo,
(pois satisfaz
e
); então ao mover-se na reta por
tem-se crescimento quadrático dominante
com coeficiente positivo
, logo
quando
. Conclusão:
- Não existe valor máximo de
sobre a curva (é ilimitada superiormente). - O ponto que encontramos é, na verdade, um mínimo relativo (e global sobre a reta), com valor
em .
Resposta
Não existe valor máximo (a função é ilimitada superiormente na curva).
Mínimo: ocorre em e
.
Mínimo: ocorre em