Encontre o valor máximo de f(x, y, z)=x^{2}+2 y^{2}+3 z^{2} sobre a curva formada pela interseção do plano x+y+z=1 com o plano x-y+2 z=2.
  1. Utilize dois multiplicadores (\lambda, \mu) para montar o sistema de equações lineares.

Passo 1

O enunciado pede: encontrar o valor máximo de f(x,y,z)=x^{2}+2y^{2}+3z^{2} sobre a curva que é a interseção dos planos
x+y+z=1
e
x-y+2z=2.
Informações dadas:
  • A função objetiva é f(x,y,z)=x^{2}+2y^{2}+3z^{2}.
  • As restrições são as duas equações dos planos acima.
    O enunciado também pede explicitamente usar dois multiplicadores de Lagrange (\lambda,\mu) para montar o sistema de equações lineares. Não se resolve nada neste passo além de identificar o pedido e listar os dados.

Passo 2

Ideia do método (explicação didática): quando queremos extremizar uma função f sujeita a duas restrições g_1(x,y,z)=0 e g_2(x,y,z)=0, introduzimos a função lagrangiana
L(x,y,z,\lambda,\mu)=f(x,y,z)-\lambda g_1(x,y,z)-\mu g_2(x,y,z).
A condição de extremalidade (para pontos regulares das restrições) é que o gradiente de f seja combinação linear dos gradientes das restrições:
\nabla f=\lambda\nabla g_1+\mu\nabla g_2.
Aqui cada componente desta igualdade gera uma equação linear. Vou aplicar isso ao nosso caso. Explicando os símbolos:
  • \nabla f é o vetor das derivadas parciais de f: \nabla f=\bigl(\tfrac{\partial f}{\partial x},\tfrac{\partial f}{\partial y},\tfrac{\partial f}{\partial z}\bigr).
  • \lambda e \mu são os multiplicadores de Lagrange, números reais que ajustam a combinação linear dos gradientes das restrições.

Passo 3

Defino as funções restrição:
g_1(x,y,z)=x+y+z-1,\qquad g_2(x,y,z)=x-y+2z-2.
Calculo os gradientes:
\nabla f=(2x,\,4y,\,6z),
\nabla g_1=(1,\,1,\,1),
\nabla g_2=(1,\,-1,\,2).
A condição \nabla f=\lambda\nabla g_1+\mu\nabla g_2 traduz-se componente a componente em:
2x=\lambda+\mu,
4y=\lambda-\mu,
6z=\lambda+2\mu.
Essas são três equações lineares. Junto com as duas restrições originais obtemos o sistema que pede o enunciado.

Passo 4

Escrevo explicitamente o sistema linear completo (são cinco equações, cinco incógnitas x,y,z,\lambda,\mu\)): \[\begin{cases} 2x=\lambda+\mu,\\[4pt] 4y=\lambda-\mu,\\[4pt] 6z=\lambda+2\mu,\\[4pt] x+y+z=1,\\[4pt] x-y+2z=2. \end{cases}
Isto é exatamente o sistema obtido usando dois multiplicadores ((\lambda,\mu)]. Agora vamos resolver passo a passo.]

Passo 5

Resolvo as equações que envolvem \lambda e \mu para eliminar \lambda,\mu e obter relações entre x,y,z.
Da primeira e terceira:
2x=\lambda+\mu\quad\text{e}\quad 6z=\lambda+2\mu.
Subtraindo a primeira da terceira:
6z-2x=\mu.
Da segunda:
4y=\lambda-\mu \implies \lambda=4y+\mu.
Substituo \lambda em 2x=\lambda+\mu:
2x=4y+\mu+\mu=4y+2\mu \implies 2x-4y=2\mu \implies \mu=x-2y.
Agora igualo as duas expressões para \mu:
x-2y=6z-2x \implies 3x-2y-6z=0.
Ou escrita conveniente:
3x-2y=6z.
Esta é uma relação linear entre x,y,z obtida a partir das condições de Lagrange.

Passo 6

Agora resolvo o sistema linear formado pelas três equações em x,y,z\): \[\begin{cases} x+y+z=1,\\[4pt] x-y+2z=2,\\[4pt] 3x-2y-6z=0. \end{cases}
Faço combinações simples:
  • Somando a primeira com a segunda:
(x+y+z)+(x-y+2z)=1+2 \implies 2x+3z=3.
Chamo isso de (A): 2x+3z=3\]. - Subtraindo a segunda da primeira: \[(x+y+z)-(x-y+2z)=1-2 \implies 2y-z=-1.\] Chamo isso de (B): \(2y-z=-1.
Agora expresso x e y em termos de z:
  • De (A): 2x=3-3z \implies x=\dfrac{3-3z}{2}.
  • De (B): 2y=z-1 \implies y=\dfrac{z-1}{2}.
Substituo estas expressões na relação 3x-2y=6z:
3\cdot\frac{3-3z}{2}-2\cdot\frac{z-1}{2}=6z.
Calculando passo a passo:
\frac{9-9z}{2}-\frac{2z-2}{2}=6z \implies \frac{9-9z-2z+2}{2}=6z \implies \frac{11-11z}{2}=6z.
Multiplicando por 2:
11-11z=12z \implies 11=23z \implies z=\frac{11}{23}.]

Passo 7

Com z=\dfrac{11}{23} obtenho y e x:
y=\frac{z-1}{2}=\frac{\tfrac{11}{23}-1}{2}=\frac{\tfrac{11-23}{23}}{2}=\frac{-12}{23}\cdot\frac{1}{2}=-\frac{6}{23},
x=\frac{3-3z}{2}=\frac{3-3\cdot\tfrac{11}{23}}{2}=\frac{\tfrac{69-33}{23}}{2}=\frac{36}{23}\cdot\frac{1}{2}=\frac{18}{23}.
Verificação rápida nas restrições:
x+y+z=\frac{18}{23}-\frac{6}{23}+\frac{11}{23}=\frac{23}{23}=1,
x-y+2z=\frac{18}{23}-\bigl(-\frac{6}{23}\bigr)+2\cdot\frac{11}{23}=\frac{18+6+22}{23}=\frac{46}{23}=2.
Portanto o ponto crítico é
\Bigl(x,y,z\Bigr)=\left(\frac{18}{23},-\frac{6}{23},\frac{11}{23}\right).

Passo 8

Calculo o valor de f nesse ponto:
f\!\left(\frac{18}{23},-\frac{6}{23},\frac{11}{23}\right)=\left(\frac{18}{23}\right)^{2}+2\left(-\frac{6}{23}\right)^{2}+3\left(\frac{11}{23}\right)^{2}.
Faço as contas:
\left(\frac{18}{23}\right)^{2}=\frac{324}{529},\qquad 2\left(\frac{6}{23}\right)^{2}=2\cdot\frac{36}{529}=\frac{72}{529},
3\left(\frac{11}{23}\right)^{2}=3\cdot\frac{121}{529}=\frac{363}{529}.
Somando:
f=\frac{324+72+363}{529}=\frac{759}{529}.
Simplificando 759=33\cdot23 e 529=23\cdot23, obtemos
f=\frac{33}{23}.

Passo 9

Classificação do extremo e resposta ao pedido “valor máximo”: a função f(x,y,z)=x^{2}+2y^{2}+3z^{2} é definida por uma forma quadrática com matriz diagonal \operatorname{diag}(1,2,3), que é positiva definida. Isso implica que f é estritamente convexa e cresce indefinidamente quando \|(x,y,z)\|\to\infty. A interseção dos dois planos é uma reta (curva não-bounded); ao percorrer essa reta em ambas as direções, a norma cresce e portanto f tende a +\infty. Para ver isto de maneira concreta, note que um vetor diretor da reta é, por exemplo, d=(-3,1,2) (pois satisfaz d\cdot(1,1,1)=0 e d\cdot(1,-1,2)=0); então ao mover-se na reta por t\mapsto p+t d tem-se crescimento quadrático dominante t^{2} (d^{T}\operatorname{diag}(1,2,3)d) com coeficiente positivo =23, logo f\to\infty quando |t|\to\infty. Conclusão:
  • Não existe valor máximo de f sobre a curva (é ilimitada superiormente).
  • O ponto que encontramos é, na verdade, um mínimo relativo (e global sobre a reta), com valor f_{\min}=\dfrac{33}{23} em \left(\dfrac{18}{23},-\dfrac{6}{23},\dfrac{11}{23}\right).

Resposta

Não existe valor máximo (a função é ilimitada superiormente na curva).
Mínimo: ocorre em \left(\dfrac{18}{23},-\dfrac{6}{23},\dfrac{11}{23}\right) e f_{\min}=\dfrac{33}{23}.

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