) Considere um meio condutor isotrópico com condutividade elétrica
. Mostre como as equações de Maxwell podem ser combinadas para obter a equação de difusão do campo magnético.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, num meio condutor isotrópico de condutividade elétrica
, o campo magnético satisfaz uma equação de difusão. O conteúdo envolvido são as equações de Maxwell no regime quasistático magnético, mais a lei de Ohm localizada. Vamos precisar de:
- A lei de Faraday:
. - A lei de Ampère (sem deslocamento, pois
): . - A lei de Ohm localizada:
. - A relação constitutiva isotrópica:
.
Passo 2
Começamos de Ampère sem termo de deslocamento, válido quando
:
e aplicamos a lei de Ohm localizada:
Passo 3
Tomamos agora o rotacional de ambos os lados de
:
No lado direito usamos a lei de Faraday:
Logo
Passo 4
Usamos a identidade vetorial
e, como o meio é homogêneo e
, temos
. Então
Passo 5
Substituímos
numa permeabilidade
constante:
Reordenando, obtemos a forma canônica de uma equação de difusão para
.
Resposta
A combinação das equações de Maxwell e da lei de Ohm conduz a
ou, equivalentemente,
que é a equação de difusão do campo magnético num condutor isotrópico.