4^{a} ) Considere um meio condutor isotrópico com condutividade elétrica \sigma. Mostre como as equações de Maxwell podem ser combinadas para obter a equação de difusão do campo magnético.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, num meio condutor isotrópico de condutividade elétrica \sigma, o campo magnético satisfaz uma equação de difusão. O conteúdo envolvido são as equações de Maxwell no regime quasistático magnético, mais a lei de Ohm localizada. Vamos precisar de:
  1. A lei de Faraday: \nabla\times E = -\dfrac{\partial B}{\partial t}.
  2. A lei de Ampère (sem deslocamento, pois J_{\rm cond}\gg \partial D/\partial t): \nabla\times H = J.
  3. A lei de Ohm localizada: J = \sigma E.
  4. A relação constitutiva isotrópica: B=\mu H.

Passo 2

Começamos de Ampère sem termo de deslocamento, válido quando \sigma\gg\omega\epsilon:
\nabla\times H \;=\; J
e aplicamos a lei de Ohm localizada:
\nabla\times H \;=\;\sigma\,E.

Passo 3

Tomamos agora o rotacional de ambos os lados de \nabla\times H = \sigma E:
\nabla\times\bigl(\nabla\times H\bigr) \;=\; \sigma\,\bigl(\nabla\times E\bigr).
No lado direito usamos a lei de Faraday:
\nabla\times E = -\frac{\partial B}{\partial t}.
Logo
\nabla\times\bigl(\nabla\times H\bigr) = -\,\sigma\,\frac{\partial B}{\partial t}.

Passo 4

Usamos a identidade vetorial
\nabla\times\bigl(\nabla\times H\bigr) =\nabla\bigl(\nabla\cdot H\bigr)-\nabla^2 H
e, como o meio é homogêneo e \nabla\cdot B=0, temos \nabla\cdot H=0. Então
-\nabla^2 H = -\,\sigma\,\frac{\partial B}{\partial t} \;\;\Longrightarrow\;\; \nabla^2 H = \sigma\,\frac{\partial B}{\partial t}.

Passo 5

Substituímos B=\mu H numa permeabilidade \mu constante:
\nabla^2\bigl(\tfrac{1}{\mu}B\bigr) =\sigma\,\frac{\partial B}{\partial t} \quad\Longrightarrow\quad \nabla^2 B = \mu\,\sigma\,\frac{\partial B}{\partial t}.
Reordenando, obtemos a forma canônica de uma equação de difusão para B.

Resposta

A combinação das equações de Maxwell e da lei de Ohm conduz a
\nabla^2 B = \mu\,\sigma\,\frac{\partial B}{\partial t},
ou, equivalentemente,
\frac{\partial B}{\partial t} = \frac{1}{\mu\,\sigma}\,\nabla^2 B,
que é a equação de difusão do campo magnético num condutor isotrópico.

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