5^{a} ) Explique o parâmetro skindepth e mostre como ele pode ser definido a partir da equação da difusão dos campo eletromagnéticos.

Passo 1

O enunciado pede para a gente entender o que é o parâmetro skindepth (profundidade de penetração) num condutor e mostrar como expressá-lo a partir da equação de difusão dos campos eletromagnéticos. O conteúdo envolve as equações de Maxwell em regime harmônico, a suposição de meio condutor homogêneo (condutividade \sigma) e permeabilidade \mu, e o processo de derivar a equação de difusão para o campo magnético \mathbf H.

Passo 2

Partimos das equações de Maxwell no domínio do tempo, desprezando a corrente de deslocamento (válido em baixas frequências em condutores bons):
\nabla \times \mathbf E = -\frac{\partial \mathbf B}{\partial t},
\nabla \times \mathbf H = \mathbf J = \sigma \mathbf E.
Além disso, \mathbf B = \mu\,\mathbf H. Se fizermos \nabla \times na primeira e substituir \mathbf E da segunda, obtemos
\nabla \times \bigl(\nabla \times \mathbf E\bigr) = -\frac{\partial}{\partial t}(\nabla \times \mathbf B) = -\mu\,\frac{\partial}{\partial t}(\nabla \times \mathbf H) = -\mu\sigma\,\frac{\partial \mathbf E}{\partial t}.
Mas usando a identidade vetorial \nabla\times(\nabla\times \mathbf E)=\nabla(\nabla\cdot \mathbf E)-\nabla^2\mathbf E e como num condutor homogêneo \nabla\cdot\mathbf E\approx0, ficamos com
-\nabla^2 \mathbf E = -\mu\sigma\,\frac{\partial \mathbf E}{\partial t}.
De forma análoga, chega-se para \mathbf H à equação de difusão:
\nabla^2 \mathbf H = \mu\sigma\,\frac{\partial \mathbf H}{\partial t}.

Passo 3

Agora assumimos regime harmônico no tempo, ou seja,
\mathbf H(\mathbf r,t)=\Re\bigl\{\tilde H(\mathbf r)\,e^{j\omega t}\bigr\}.
Então \partial/\partial t vira j\omega e a equação de difusão em cada componente complexa \tilde H fica
\nabla^2 \tilde H = j\omega\mu\sigma\,\tilde H.

Passo 4

Para ver a profundidade de penetração, consideremos propagação unidimensional num eixo z. Escrevemos
\frac{d^2\tilde H}{dz^2} = j\omega\mu\sigma\,\tilde H,
e buscamos solução do tipo \tilde H(z)=H_0\,e^{-\gamma z}. Substituindo gera
\gamma^2 = j\omega\mu\sigma.
Extraindo a raiz complexa, temos
\gamma = (1+j)\,\sqrt{\frac{\omega\mu\sigma}{2}} =\alpha + j\beta,
onde a parte real \alpha=\sqrt{\omega\mu\sigma/2} é a constante de atenuação.

Passo 5

A skindepth \delta é definida como o recíproco de \alpha, isto é, a distância na qual a amplitude de \tilde H cai a 1/e. Logo
\delta = \frac{1}{\alpha} = \sqrt{\frac{2}{\omega\mu\sigma}}.

Resposta

A skindepth \delta é a profundidade de penetração em um condutor na qual o campo decai a 1/e de seu valor de superfície e, a partir da equação de difusão harmônica, fica
\delta = \sqrt{\frac{2}{\omega\,\mu\,\sigma}}.

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