Considere um meio cuja equação de condução de calor na forma mais simples é:
\frac{\partial^{2} T}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} T}{\partial y^{2}}=\frac{1}{\alpha} \frac{\partial T}{\partial t}
b) A transferência de calor é uni, bi ou tridimensional?

Passo 1

O enunciado dá a equação
\frac{\partial^{2} T}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} T}{\partial y^{2}}=\frac{1}{\alpha}\frac{\partial T}{\partial t}
e pergunta: “A transferência de calor é uni, bi ou tridimensional?”\n
Informações relevantes fornecidas:
  • A incógnita é a temperatura T que depende de x, y e t (pelo formato das derivadas).
  • Aparecem derivadas segundas em relação a x e a y.
  • Não aparece nenhuma derivada em relação a z.

Passo 2

O que significa “dimensionalidade” da transferência de calor (explicação didática):\n
  • Dizemos que a condução é unidimensional quando a variação de temperatura ocorre efetivamente ao longo de apenas uma coordenada espacial (por exemplo, x). Matemáticamente isso aparece quando só há derivadas espaciais em uma variável, por exemplo
\frac{\partial^{2} T}{\partial x^{2}}=\frac{1}{\alpha}\frac{\partial T}{\partial t}.
  • Dizemos que é bidimensional quando a temperatura varia em duas direções espaciais (por exemplo, x e y), aparecendo derivadas em ambas.
  • Dizemos que é tridimensional quando há variação em três direções espaciais ( x, y e z), isto é, quando aparece a derivada segunda também em z.

Passo 3

Apresentando a forma geral (fórmula que ajuda a identificar):\n
A equação de calor em coordenadas cartesianas no caso geral tridimensional usa o laplaciano espacial \nabla^{2}, que vale
\nabla^{2}T=\frac{\partial^{2} T}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} T}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} T}{\partial z^{2}}.
A equação de calor geral é
\nabla^{2}T=\frac{1}{\alpha}\frac{\partial T}{\partial t}.
Logo, para ver em quantas dimensões a condução está sendo considerada, basta observar em quantas variáveis espaciais aparecem as segundas derivadas.

Passo 4

Comparando a equação do enunciado com a forma geral:\n
A equação dada tem as segundas derivadas em x e y, mas falta o termo em z. Especificamente, falta \partial^{2}T/\partial z^{2}. Portanto a equação envolve variação espacial em exatamente duas direções.

Passo 5

Interpretação física e suposições por trás disso (como pensar na prova):\n
  • Isso significa que o problema está modelando um corpo no qual os gradientes de temperatura na direção z são desprezíveis ou inexistentes — por exemplo, uma lâmina muito fina e de propriedades uniformes ao longo de z, ou um problema em que a solução não depende de z.
  • Em prova, se você vê só x e y nas derivadas espaciais, pode concluir que é um problema bidimensional. Se também aparecesse \partial^{2}T/\partial z^{2}, seria tridimensional. Se aparecesse somente \partial^{2}T/\partial x^{2}, seria unidimensional.

Passo 6

Exemplos rápidos para fixar (úteis na hora da prova):\n
  • Exemplo 1 (1D): \displaystyle \frac{\partial^{2}T}{\partial x^{2}}=\frac{1}{\alpha}\frac{\partial T}{\partial t} — variação só em x → unidimensional.
  • Exemplo 2 (2D): \displaystyle \frac{\partial^{2}T}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}T}{\partial y^{2}}=\frac{1}{\alpha}\frac{\partial T}{\partial t} — variação em x e y → bidimensional (é exatamente o caso do enunciado).
  • Exemplo 3 (3D): \displaystyle \frac{\partial^{2}T}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}T}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2}T}{\partial z^{2}}=\frac{1}{\alpha}\frac{\partial T}{\partial t} — variação em x,y,z → tridimensional.

Resposta

Bidimensional.

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