Considere um meio cuja equação de condução de calor na forma mais simples é:
b) A transferência de calor é uni, bi ou tridimensional?
Passo 1
O enunciado dá a equação
e pergunta: “A transferência de calor é uni, bi ou tridimensional?”\n
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A incógnita é a temperatura
que depende de , e (pelo formato das derivadas). - Aparecem derivadas segundas em relação a
e a . - Não aparece nenhuma derivada em relação a
.
Passo 2
O que significa “dimensionalidade” da transferência de calor (explicação didática):\n
- Dizemos que a condução é unidimensional quando a variação de temperatura ocorre efetivamente ao longo de apenas uma coordenada espacial (por exemplo,
). Matemáticamente isso aparece quando só há derivadas espaciais em uma variável, por exemplo
- Dizemos que é bidimensional quando a temperatura varia em duas direções espaciais (por exemplo,
e ), aparecendo derivadas em ambas. - Dizemos que é tridimensional quando há variação em três direções espaciais (
, e ), isto é, quando aparece a derivada segunda também em .
Passo 3
Apresentando a forma geral (fórmula que ajuda a identificar):\n
A equação de calor em coordenadas cartesianas no caso geral tridimensional usa o laplaciano espacial , que vale
A equação de calor em coordenadas cartesianas no caso geral tridimensional usa o laplaciano espacial
A equação de calor geral é
Logo, para ver em quantas dimensões a condução está sendo considerada, basta observar em quantas variáveis espaciais aparecem as segundas derivadas.
Passo 4
Comparando a equação do enunciado com a forma geral:\n
A equação dada tem as segundas derivadas em e
, mas falta o termo em
. Especificamente, falta
. Portanto a equação envolve variação espacial em exatamente duas direções.
A equação dada tem as segundas derivadas em
Passo 5
Interpretação física e suposições por trás disso (como pensar na prova):\n
- Isso significa que o problema está modelando um corpo no qual os gradientes de temperatura na direção
são desprezíveis ou inexistentes — por exemplo, uma lâmina muito fina e de propriedades uniformes ao longo de , ou um problema em que a solução não depende de . - Em prova, se você vê só
e nas derivadas espaciais, pode concluir que é um problema bidimensional. Se também aparecesse , seria tridimensional. Se aparecesse somente , seria unidimensional.
Passo 6
Exemplos rápidos para fixar (úteis na hora da prova):\n
- Exemplo 1 (1D):
— variação só em → unidimensional. - Exemplo 2 (2D):
— variação em e → bidimensional (é exatamente o caso do enunciado). - Exemplo 3 (3D):
— variação em → tridimensional.
Resposta
Bidimensional.