Escreva, na forma mais simples, a equação de condução de calor unidimensional transiente para uma parede plana com condutividade térmica constante e geração de calor e indique o que cada variável representa.
Passo 1
Você pediu para eu escrever, na forma mais simples, a equação de condução de calor unidimensional transiente para uma parede plana com condutividade térmica constante e geração de calor, e também indicar o que cada variável representa.
Informações dadas (explicitadas):
Informações dadas (explicitadas):
- geometria: parede plana (parede fina considerada em uma dimensão espacial, variável
); - regime: transiente (depende do tempo
); - propriedades: condutividade térmica
constante; - presença de geração interna de calor (termo volumétrico de geração).
Passo 2
Vamos montar um balanço de energia num pequeno elemento da parede. Considere um elemento de espessura
, área de seção transversal
e volume
. A ideia do balanço é: entrada de calor por condução menos saída por condução mais geração interna = variação da energia interna do elemento. Escrevendo isso em palavras:
entrada por condução — saída por condução + geração = acúmulo.
entrada por condução — saída por condução + geração = acúmulo.
Passo 3
Agora convertemos essas ideias em fórmulas. Denotamos por
o fluxo de calor unidimensional (por unidade de área) na direção
.
- Fluxo que entra pela face em
: . - Fluxo que sai pela face em
: . - Geração total no volume:
, onde é a taxa volumétrica de geração de calor (potência por unidade de volume). - Variação de energia interna (acúmulo): massa
calor específico variação de temperatura por unidade de tempo, isto é .
Montando o balanço (entrada − saída + geração = acúmulo):
Passo 4
Fazemos a aproximação de Taylor para o fluxo na face direita e dividimos por
. Isso dá, no limite
:
Aqui o termo
representa o fluxo líquido que entra por condução por unidade de volume.
Passo 5
Substituímos a Lei de Fourier para condução unidimensional, que diz que o fluxo de calor por unidade de área é proporcional ao gradiente de temperatura com sinal negativo:
onde
é a condutividade térmica (assumida constante). Substituindo em
e usando que
é constante, obtemos:
Substituindo isso no balanço do Passo 4 resulta na forma diferencial da equação de calor.
Passo 6
Escrevendo a equação final na forma mais simples (forma dimensional clássica):
Uma forma alternativa, dividindo por
e usando a difusividade térmica
, é:
Passo 7
Agora explico, de modo bem claro, o que representa cada variável e cada termo (com unidades típicas):
-
: temperatura local (unidade: ou ). -
: coordenada espacial normal à parede (unidade: ). -
: tempo (unidade: ). -
: densidade do material (unidade: ). -
: calor específico à pressão constante (unidade: ). -
: condutividade térmica (unidade: ); assumida constante aqui. -
: geração volumétrica de calor (unidade: ); pode depender de e ou ser constante. -
: difusividade térmica (unidade: ).
Interpretação física dos termos na equação
:
- lado esquerdo: taxa de variação temporal da energia interna por unidade de volume (acúmulo);
- primeiro termo à direita: transporte por condução (difusão térmica) — faz a temperatura “se espalhar”;
- segundo termo à direita: fonte interna de energia que aquece o material.
Passo 8
Observações importantes para a prova (dicas práticas):
- A equação acima vale sob as hipóteses usadas: condução unidimensional, propriedades constantes (
constantes), sem convecção interna, sem radiação interna, regime transiente. - Em provas, é comum apresentar tanto a forma com
quanto a forma com . Memorize ambas. - Para resolver um problema concreto você precisa também das condições de contorno (por exemplo, temperaturas prescritas nas superfícies ou fluxo convectivo) e da condição inicial
.