Escreva, na forma mais simples, a equação de condução de calor unidimensional transiente para uma parede plana com condutividade térmica constante e geração de calor e indique o que cada variável representa.

Passo 1

Você pediu para eu escrever, na forma mais simples, a equação de condução de calor unidimensional transiente para uma parede plana com condutividade térmica constante e geração de calor, e também indicar o que cada variável representa.
Informações dadas (explicitadas):
  • geometria: parede plana (parede fina considerada em uma dimensão espacial, variável x);
  • regime: transiente (depende do tempo t);
  • propriedades: condutividade térmica k constante;
  • presença de geração interna de calor (termo volumétrico de geração).

Passo 2

Vamos montar um balanço de energia num pequeno elemento da parede. Considere um elemento de espessura \mathrm{d}x, área de seção transversal A e volume A\,\mathrm{d}x. A ideia do balanço é: entrada de calor por condução menos saída por condução mais geração interna = variação da energia interna do elemento. Escrevendo isso em palavras:
entrada por condução — saída por condução + geração = acúmulo.

Passo 3

Agora convertemos essas ideias em fórmulas. Denotamos por q_x o fluxo de calor unidimensional (por unidade de área) na direção x.
  • Fluxo que entra pela face em x: q_x(x)\,A.
  • Fluxo que sai pela face em x+\mathrm{d}x: q_x(x+\mathrm{d}x)\,A.
  • Geração total no volume: \dot{q}'''\,A\,\mathrm{d}x, onde \dot{q}''' é a taxa volumétrica de geração de calor (potência por unidade de volume).
  • Variação de energia interna (acúmulo): massa \times calor específico \times variação de temperatura por unidade de tempo, isto é \rho\,A\,\mathrm{d}x\,c_p\,\dfrac{\partial T}{\partial t}.
Montando o balanço (entrada − saída + geração = acúmulo):
q_x(x)\,A - q_x(x+\mathrm{d}x)\,A + \dot{q}'''\,A\,\mathrm{d}x = \rho\,A\,\mathrm{d}x\,c_p\,\frac{\partial T}{\partial t}.

Passo 4

Fazemos a aproximação de Taylor para o fluxo na face direita e dividimos por A\,\mathrm{d}x. Isso dá, no limite \mathrm{d}x\to 0:
-\,\frac{\partial q_x}{\partial x} + \dot{q}''' = \rho\,c_p\,\frac{\partial T}{\partial t}.
Aqui o termo -\dfrac{\partial q_x}{\partial x} representa o fluxo líquido que entra por condução por unidade de volume.

Passo 5

Substituímos a Lei de Fourier para condução unidimensional, que diz que o fluxo de calor por unidade de área é proporcional ao gradiente de temperatura com sinal negativo:
q_x = -k\,\frac{\partial T}{\partial x},
onde k é a condutividade térmica (assumida constante). Substituindo em -\dfrac{\partial q_x}{\partial x} e usando que k é constante, obtemos:
-\,\frac{\partial}{\partial x}\!\left(-k\,\frac{\partial T}{\partial x}\right) = k\,\frac{\partial^2 T}{\partial x^2}.
Substituindo isso no balanço do Passo 4 resulta na forma diferencial da equação de calor.

Passo 6

Escrevendo a equação final na forma mais simples (forma dimensional clássica):
\rho\,c_p\,\frac{\partial T}{\partial t} = k\,\frac{\partial^2 T}{\partial x^2} + \dot{q}'''.
Uma forma alternativa, dividindo por \rho\,c_p e usando a difusividade térmica \alpha = \dfrac{k}{\rho\,c_p}, é:
\frac{\partial T}{\partial t} = \alpha\,\frac{\partial^2 T}{\partial x^2} + \frac{\dot{q}'''}{\rho\,c_p}.

Passo 7

Agora explico, de modo bem claro, o que representa cada variável e cada termo (com unidades típicas):
  • \displaystyle T=T(x,t): temperatura local (unidade: \mathrm{K} ou {}^\circ\mathrm{C}).
  • \displaystyle x: coordenada espacial normal à parede (unidade: \mathrm{m}).
  • \displaystyle t: tempo (unidade: \mathrm{s}).
  • \displaystyle \rho: densidade do material (unidade: \mathrm{kg\,m^{-3}}).
  • \displaystyle c_p: calor específico à pressão constante (unidade: \mathrm{J\,kg^{-1}\,K^{-1}}).
  • \displaystyle k: condutividade térmica (unidade: \mathrm{W\,m^{-1}\,K^{-1}}); assumida constante aqui.
  • \displaystyle \dot{q}''': geração volumétrica de calor (unidade: \mathrm{W\,m^{-3}}); pode depender de x e t ou ser constante.
  • \displaystyle \alpha=\dfrac{k}{\rho\,c_p}: difusividade térmica (unidade: \mathrm{m^2\,s^{-1}}).
Interpretação física dos termos na equação \rho c_p \dfrac{\partial T}{\partial t} = k \dfrac{\partial^2 T}{\partial x^2} + \dot{q}''':
  • lado esquerdo: taxa de variação temporal da energia interna por unidade de volume (acúmulo);
  • primeiro termo à direita: transporte por condução (difusão térmica) — faz a temperatura “se espalhar”;
  • segundo termo à direita: fonte interna de energia que aquece o material.

Passo 8

Observações importantes para a prova (dicas práticas):
  • A equação acima vale sob as hipóteses usadas: condução unidimensional, propriedades constantes ( k,\rho,c_p constantes), sem convecção interna, sem radiação interna, regime transiente.
  • Em provas, é comum apresentar tanto a forma com \rho c_p quanto a forma com \alpha. Memorize ambas.
  • Para resolver um problema concreto você precisa também das condições de contorno (por exemplo, temperaturas prescritas nas superfícies ou fluxo convectivo) e da condição inicial T(x,0).

Resposta

\rho\,c_p\,\frac{\partial T}{\partial t} = k\,\frac{\partial^2 T}{\partial x^2} + \dot{q}'''
\text{ou}\qquad \frac{\partial T}{\partial t} = \alpha\,\frac{\partial^2 T}{\partial x^2} + \frac{\dot{q}'''}{\rho\,c_p},\quad \alpha=\frac{k}{\rho\,c_p}

Exercícios relacionados