Questão 4

A superfície exposta ( x=0 ) de uma parede plana com condutividade térmica k encontra-se sujeita a radiação de microondas que causa um aquecimento volumétrico que varia conforme
\dot{q}_{x}=\dot{q}_{e}\left(1-\frac{x}{L}\right)
Onde \dot{q}_{e}\left(\mathrm{~W} / \mathrm{m}^{3}\right) é uma constante. A fronteira em \mathrm{x}=\mathrm{L} está perfeitamente isolada, enquanto a superfície exposta é mantida a uma temperatura constante Te. Determine a distribuição de \mathrm{T}(\mathrm{x}) em termos de \mathrm{x}, \mathrm{L}, \dot{q}_{e} e Te.

Passo 1

O enunciado pede a distribuição de temperatura T(x) numa parede plana com as seguintes informações e condições:
  • O aquecimento volumétrico (geração interna) varia segundo
\dot{q}_x=\dot{q}_e\left(1-\frac{x}{L}\right),
onde \dot{q}_e é constante (unidade \mathrm{W/m^3}).
  • A condutividade térmica da parede é \;k\; (constante).
  • A superfície exposta em x=0 é mantida à temperatura constante \;T_e\;, isto é,
T(0)=T_e.
  • A fronteira em x=L está perfeitamente isolada (sem fluxo de calor através dela).
  • Queremos T(x) em termos de x, L, \dot{q}_e, T_e e k.

Passo 2

Escrevemos a equação de condução para regime permanente e uma dimensão com geração volumétrica. A partir do balanço de energia local, para condutividade constante obtemos
\frac{d}{dx}\!\left(k\frac{dT}{dx}\right)+\dot{q}_x=0.
Como k é constante, isso simplifica para
k\frac{d^2T}{dx^2}+\dot{q}_x=0.
Substituindo \dot{q}_x=\dot{q}_e\!\left(1-\dfrac{x}{L}\right) temos
\frac{d^2T}{dx^2}=-\frac{\dot{q}_e}{k}\left(1-\frac{x}{L}\right).
Explicação didática rápida: essa equação diz que a curvatura da temperatura (segunda derivada) é proporcional à geração interna — mais geração força uma curvatura positiva/negativa conforme o sinal. O sinal negativo aparece porque uma geração positiva exige um gradiente de temperatura que sustente o fluxo.

Passo 3

Integramos a equação duas vezes. Primeiro, integrar \dfrac{d^2T}{dx^2} para obter \dfrac{dT}{dx}:
\frac{dT}{dx}=\int -\frac{\dot{q}_e}{k}\left(1-\frac{x}{L}\right)dx + C_1.
Calculando a integral termo a termo:
\int\left(1-\frac{x}{L}\right)dx = x - \frac{x^2}{2L}.
Portanto
\frac{dT}{dx}=-\frac{\dot{q}_e}{k}\left(x-\frac{x^2}{2L}\right)+C_1.

Passo 4

Aplicamos a condição de isolamento em x=L. Isolamento significa fluxo de calor nulo em x=L. Pelo laço de Fourier, o fluxo é q_x=-k\,dT/dx. Assim, isolamento dá
q_x(L)=0 \quad\Rightarrow\quad \frac{dT}{dx}\Big|_{x=L}=0.
Substituindo na expressão de \dfrac{dT}{dx}:
0=-\frac{\dot{q}_e}{k}\left(L-\frac{L^2}{2L}\right)+C_1.
Calculando L-\dfrac{L^2}{2L}=L-\dfrac{L}{2}=\dfrac{L}{2}, obtemos
0=-\frac{\dot{q}_e}{k}\cdot\frac{L}{2}+C_1 \quad\Rightarrow\quad C_1=\frac{\dot{q}_e L}{2k}.

Passo 5

Agora integramos \dfrac{dT}{dx} para obter T(x):
T(x)=\int\left[-\frac{\dot{q}_e}{k}\left(x-\frac{x^2}{2L}\right)+\frac{\dot{q}_e L}{2k}\right]dx + C_2.
Integração termo a termo:
\int x\,dx=\frac{x^2}{2},\qquad \int \frac{x^2}{2L}\,dx=\frac{x^3}{6L},\qquad \int \frac{L}{2}\,dx=\frac{Lx}{2}.
Portanto
T(x)=-\frac{\dot{q}_e}{k}\left(\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{6L}\right)+\frac{\dot{q}_e L}{2k}x + C_2.

Passo 6

Impondo a condição em x=0: T(0)=T_e. Substituindo x=0 na expressão acima dá T_e = C_2. Logo C_2=T_e. Substituímos de volta e simplificamos a expressão algébrica:
T(x)=T_e+\frac{\dot{q}_e}{k}\left[-\left(\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{6L}\right)+\frac{Lx}{2}\right].
Organizando os termos dentro do colchete:
-\left(\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{6L}\right)+\frac{Lx}{2}=\frac{1}{2}\left(Lx-x^2+\frac{x^3}{3L}\right).
Portanto a forma mais compacta é
T(x)=T_e+\frac{\dot{q}_e}{2k}\left(Lx-x^2+\frac{x^3}{3L}\right).

Passo 7

Comentário final e checagem rápida (didática): essa solução satisfaz as duas condições de contorno: em x=0 o segundo termo some e T(0)=T_e; ao derivar e avaliar em x=L obtemos dT/dx(L)=0, conforme o isolamento. Também é física: para \dot{q}_e>0 a temperatura cresce a partir de T_e em função da geração e da condutividade.

Resposta

T(x)=T_e+\frac{\dot{q}_e}{2k}\left(Lx-x^2+\frac{x^3}{3L}\right)

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