A superfície exposta ( x=0 ) de uma parede plana com condutividade térmica k encontra-se sujeita a radiação de microondas que causa um aquecimento volumétrico que varia conforme
\dot{q}_{x}=\dot{q}_{e}\left(1-\frac{x}{L}\right)
Onde \dot{q}_{e}\left(\mathrm{~W} / \mathrm{m}^{3}\right) é uma constante. A fronteira em \mathrm{x}=\mathrm{L} está perfeitamente isolada, enquanto a superfície exposta é mantida a uma temperatura constante Te. Determine a distribuição de \mathrm{T}(\mathrm{x}) em termos de \mathrm{x}, \mathrm{L}, \dot{q}_{e} e Te.
Passo 1
O enunciado pede a distribuição de temperatura T(x) numa parede plana com as seguintes informações e condições:
O aquecimento volumétrico (geração interna) varia segundo
\dot{q}_x=\dot{q}_e\left(1-\frac{x}{L}\right),
onde \dot{q}_e é constante (unidade \mathrm{W/m^3}).
A condutividade térmica da parede é \;k\; (constante).
A superfície exposta em x=0 é mantida à temperatura constante \;T_e\;, isto é,
T(0)=T_e.
A fronteira em x=L está perfeitamente isolada (sem fluxo de calor através dela).
Queremos T(x) em termos de x, L, \dot{q}_e, T_e e k.
Passo 2
Escrevemos a equação de condução para regime permanente e uma dimensão com geração volumétrica. A partir do balanço de energia local, para condutividade constante obtemos
Explicação didática rápida: essa equação diz que a curvatura da temperatura (segunda derivada) é proporcional à geração interna — mais geração força uma curvatura positiva/negativa conforme o sinal. O sinal negativo aparece porque uma geração positiva exige um gradiente de temperatura que sustente o fluxo.
Passo 3
Integramos a equação duas vezes. Primeiro, integrar \dfrac{d^2T}{dx^2} para obter \dfrac{dT}{dx}:
Aplicamos a condição de isolamento em x=L. Isolamento significa fluxo de calor nulo em x=L. Pelo laço de Fourier, o fluxo é q_x=-k\,dT/dx. Assim, isolamento dá
Impondo a condição em x=0: T(0)=T_e. Substituindo x=0 na expressão acima dá T_e = C_2. Logo C_2=T_e. Substituímos de volta e simplificamos a expressão algébrica:
Comentário final e checagem rápida (didática): essa solução satisfaz as duas condições de contorno: em x=0 o segundo termo some e T(0)=T_e; ao derivar e avaliar em x=L obtemos dT/dx(L)=0, conforme o isolamento. Também é física: para \dot{q}_e>0 a temperatura cresce a partir de T_e em função da geração e da condutividade.