Considere um meio poroso idealizado por um feixe de tubos capilares de raio hidráulico médio, conforme o modelo capilar discutido. O escoamento é laminar, permanente e de fluido incompressível. A perda de carga no escoamento pode ser descrita tanto pela lei de Darcy quanto por uma forma generalizada da equação de Hagen-Poiseuille, levando à seguinte relação para a permeabilidade:
k=\varepsilon\left(\frac{R_{h}^{2}}{\beta}\right)
Sabendo que o raio hidráulico médio é dado por:
R_{h}=\frac{\varepsilon}{S_{V}}
e que a área superficial específica S_{V}, para partículas esféricas de diâmetro d_{p}, é:
S_{V}=\frac{6}{\varphi d_{p}}(1-\varepsilon)
a) Mostre que a expressão final pode ser reescrita como a equação de Kozeny-Carman:
k=\frac{\left(\varphi d_{p}\right)^{2}}{36 \beta}\left[\frac{\varepsilon^{3}}{(1-\varepsilon)^{2}}\right]
b) Comente brevemente o significado físico da dependência da permeabilidade com a porosidade e o diâmetro das partículas.

Passo 1

O enunciado dá a permeabilidade num meio poroso idealizado por um feixe de capilares como
k = \varepsilon \left(\frac{R_{h}^{2}}{\beta}\right),
onde \varepsilon é a porosidade, \beta uma constante de Kozeny e R_{h} o raio hidráulico médio. Sabemos também que
R_{h} = \frac{\varepsilon}{S_{V}} \quad\text{e}\quad S_{V} = \frac{6}{\varphi d_{p}}\,(1-\varepsilon).
O objetivo é usar essas relações para reescrever k na forma de Kozeny–Carman e, em seguida, comentar sua dependência física.

Passo 2

Substituímos \,R_{h} = \dfrac{\varepsilon}{S_{V}} em
k = \varepsilon\,\frac{R_{h}^{2}}{\beta}
e obtemos
k = \varepsilon\,\frac{1}{\beta}\,\Bigl(\frac{\varepsilon}{S_{V}}\Bigr)^{2} = \frac{\varepsilon}{\beta}\,\frac{\varepsilon^{2}}{S_{V}^{2}} = \frac{\varepsilon^{3}}{\beta\,S_{V}^{2}}.

Passo 3

Agora usamos
S_{V} = \frac{6}{\varphi d_{p}}(1-\varepsilon),
de onde
S_{V}^{2} = \frac{36\,(1-\varepsilon)^{2}}{(\varphi d_{p})^{2}}.

Passo 4

Substituindo S_{V}^{2} em k = \dfrac{\varepsilon^{3}}{\beta\,S_{V}^{2}}, chega-se a
k = \frac{\varepsilon^{3}}{\beta}\,\frac{(\varphi d_{p})^{2}}{36\,(1-\varepsilon)^{2}} = \frac{(\varphi d_{p})^{2}}{36\,\beta}\,\frac{\varepsilon^{3}}{(1-\varepsilon)^{2}},
que é exatamente a forma de Kozeny–Carman.

Passo 5

Fisicamente, essa fórmula mostra que:
  • k\propto d_{p}^{2}: partículas maiores criam poros mais largos, facilitando o escoamento.
  • k\propto \dfrac{\varepsilon^{3}}{(1-\varepsilon)^{2}}: à medida que a porosidade cresce, a fração de espaço disponível aumenta (terceiro poder), mas existe também efeito da redução de área sólida (1-\varepsilon) no denominador. Isso expressa o compromisso entre volume de vazios e área de contato, controlando a facilidade de passagem do fluido.

Resposta

a)
k = \frac{(\varphi d_{p})^{2}}{36\,\beta}\,\frac{\varepsilon^{3}}{(1-\varepsilon)^{2}}
b) A permeabilidade cresce com o quadrado do diâmetro das partículas (pores maiores) e com \varepsilon^{3}, mas decresce com (1-\varepsilon)^{2}, refletindo o equilíbrio entre espaço livre para o fluxo e área de superfície sólida que causa perda de carga.

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