Considere um meio poroso idealizado por um feixe de tubos capilares de raio hidráulico médio, conforme o modelo capilar discutido. O escoamento é laminar, permanente e de fluido incompressível. A perda de carga no escoamento pode ser descrita tanto pela lei de Darcy quanto por uma forma generalizada da equação de Hagen-Poiseuille, levando à seguinte relação para a permeabilidade:
Sabendo que o raio hidráulico médio é dado por:
e que a área superficial específica
, para partículas esféricas de diâmetro
, é:
a) Mostre que a expressão final pode ser reescrita como a equação de Kozeny-Carman:
b) Comente brevemente o significado físico da dependência da permeabilidade com a porosidade e o diâmetro das partículas.
Passo 1
O enunciado dá a permeabilidade num meio poroso idealizado por um feixe de capilares como
onde
é a porosidade,
uma constante de Kozeny e
o raio hidráulico médio. Sabemos também que
O objetivo é usar essas relações para reescrever
na forma de Kozeny–Carman e, em seguida, comentar sua dependência física.
Passo 2
Substituímos
em
e obtemos
Passo 3
Agora usamos
de onde
Passo 4
Substituindo
em
, chega-se a
que é exatamente a forma de Kozeny–Carman.
Passo 5
Fisicamente, essa fórmula mostra que:
-
: partículas maiores criam poros mais largos, facilitando o escoamento. -
: à medida que a porosidade cresce, a fração de espaço disponível aumenta (terceiro poder), mas existe também efeito da redução de área sólida no denominador. Isso expressa o compromisso entre volume de vazios e área de contato, controlando a facilidade de passagem do fluido.
Resposta
a)
b) A permeabilidade cresce com o quadrado do diâmetro das partículas (pores maiores) e com
, mas decresce com
, refletindo o equilíbrio entre espaço livre para o fluxo e área de superfície sólida que causa perda de carga.