Um soprador de ar foi originalmente projetado para operar à pressão absoluta de 1 atm e temperatura de 20^{\circ} \mathrm{C}, condições em que a densidade do ar é de 1,2 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}. Esse soprador fornece uma pressão total (ou carga) de 57 \mathrm{mmH}_{2} \mathrm{O}, gira a 800 rotações por minuto (rpm) e apresenta uma vazão volumétrica de 6900 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{h}. Deseja-se agora utilizar esse mesmo soprador para inflar metano, mantendo a mesma pressão total fornecida ( 57 \mathrm{mmH}_{2} \mathrm{O} ) e operando também a 1 atm e 20^{\circ} \mathrm{C}. Nessas condições, a densidade do metano é de 0,72 \mathrm{kg} / \mathrm{m}^{3}.
Com base nessas informações, determine qual será a nova vazão volumétrica, a nova carga expressa em metros de coluna de fluido, e o novo número de rotações por minuto necessário para que o soprador opere com o metano sob as mesmas condições de carga. Considere a aceleração da gravidade como 9,81 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} e utilize a conversão de 1 \mathrm{~Pa}=0,102 \mathrm{mmH}_{2} \mathrm{O}.

Passo 1

Temos um soprador que, com ar \rho_{\mathrm{ar}}=1,2\,\mathrm{kg/m^3}, entrega:
– vazão volumétrica Q_1 = 6900\,\mathrm{m^3/h}
– carga H_1 = 57\,\mathrm{mmH_2O}
– rotação N_1 = 800\,\mathrm{rpm}
Queremos usá-lo com metano \rho_{\mathrm{CH_4}}=0,72\,\mathrm{kg/m^3}, mantendo a mesma pressão total (mesma carga em Pa). Pelo conteúdo de turbomáquinas, usamos as leis de afinidade:
  1. Q\propto N
  2. \Delta P\propto \rho\,N^2

Passo 2

Convertemos a carga H_1 para pressão em pascal. Como
1\,\mathrm{mmH_2O}=9,81\,\mathrm{Pa},
então
\Delta P = 57\,\mathrm{mmH_2O}\times 9,81\,\frac{\mathrm{Pa}}{\mathrm{mmH_2O}} =558{,}8\,\mathrm{Pa}.

Passo 3

Pelas leis de afinidade, para dois estados 1 e 2 vale:
\frac{Q_2}{Q_1}=\frac{N_2}{N_1}, \qquad \frac{\Delta P_2}{\Delta P_1} =\frac{\rho_2\,N_2^2}{\rho_1\,N_1^2}.
Como queremos \Delta P_2=\Delta P_1, impõe-se
\rho_{\mathrm{CH_4}}\,N_2^2 =\rho_{\mathrm{ar}}\,N_1^2 \quad\Longrightarrow\quad N_2 = N_1\,\sqrt{\frac{\rho_{\mathrm{ar}}}{\rho_{\mathrm{CH_4}}}}.

Passo 4

Calculando N_2:
N_2 =800\,\mathrm{rpm}\,\sqrt{\frac{1,2}{0,72}} =800\times1,290 \approx1032\,\mathrm{rpm}.

Passo 5

Como Q\propto N,
Q_2 =Q_1\frac{N_2}{N_1} =6900\,\mathrm{m^3/h}\times\frac{1032}{800} \approx8910\,\mathrm{m^3/h}.

Passo 6

Para expressar a carga em metros de metano, usamos
H_{\mathrm{CH_4}} =\frac{\Delta P}{\rho_{\mathrm{CH_4}}\,g} =\frac{558{,}8}{0,72\times9,81} \approx79{,}1\,\mathrm{m}.

Resposta

Nova vazão volumétrica: Q_2\approx8910\,\mathrm{m^3/h}
Carga em metros de metano: H_{\mathrm{CH_4}}\approx79{,}1\,\mathrm{m}
Nova rotação: N_2\approx1032\,\mathrm{rpm}

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