Considere a mesma catapulta das questōes anteriores, só que agora ela possui urn movimento no eixo x ell relação ao solo. Considere que o movimento da catapulta é descrito pela equação:
xc(t)=j t+k t^2+l t^3,
onde xr é a posição da catapulta na horizontal em relação ao solo. Dessa forma, determine:
(d) Lambda distância horizontal percorrida pela pedra arremessada em relação ao solo, em termos de j, k, l, omega, r, tl e g.

Passo 1

Beleza, então a gente tem aqui uma catapulta que não está parada, mas está se movendo na horizontal em relação ao chão. A posição dessa catapulta no eixo x é dada pela equação:
xc(t) = j t + k t^2 + l t^3
O que a gente precisa descobrir é qual é a distância horizontal total que a pedra vai percorrer em relação ao chão, chamada de Lambda. Para isso, vamos usar conceitos de movimento relativo e de lançamento de projéteis. Vamos precisar das constantes j, k, l, da velocidade angular omega, do raio r, do tempo de voo tl e da aceleração da gravidade g.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a posição da catapulta está mudando com o tempo de acordo com a equação xc(t) = j t + k t^2 + l t^3. Isso significa que a catapulta está acelerando na horizontal.

Passo 3

Agora, a pedra é lançada desta catapulta que está se movendo. A velocidade da pedra em relação ao chão vai ser a soma da velocidade da catapulta e da velocidade que a pedra ganha no momento do lançamento.

Passo 4

Vamos calcular a velocidade da catapulta. Derivando a posição xc(t) em relação ao tempo, temos:
vc(t) = dxc(t)dt = j + 2k t + 3l t^2
Essa é a velocidade da catapulta no instante do lançamento, que vamos chamar de t = tl.

Passo 5

No momento do lançamento, a pedra também tem uma velocidade devido ao movimento rotacional da parte da catapulta. Se a catapulta gira com velocidade angular omega e tem um braço de comprimento r, a velocidade tangencial da pedra é:
vt = omega r
Essa velocidade está na direção horizontal.

Passo 6

Então, a velocidade total da pedra em relação ao chão no instante do lançamento é a soma das duas velocidades:
vtotal = vc(tl) + vt = j + 2k tl + 3l tl^2 + omega r

Passo 7

Agora, para encontrar a distância horizontal percorrida pela pedra, precisamos multiplicar essa velocidade total pelo tempo de voo tl:
Lambda = vtotal times tl = (j + 2k tl + 3l tl^2 + omega r) times tl

Passo 8

Simplificando a expressão, temos:
Lambda = j tl + 2k tl^2 + 3l tl^3 + omega r tl

Resposta

A distância horizontal percorrida pela pedra em relação ao solo é:
Lambda = j tl + 2k tl^2 + 3l tl^3 + omega r tl

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