Considere a mesma catapulta das questōes anteriores, só que agora ela possui urn movimento no eixo
ell relação ao solo. Considere que o movimento da catapulta é descrito pela equação:
onde
é a posição da catapulta na horizontal em relação ao solo. Dessa forma, determine:
(d)
distância horizontal percorrida pela pedra arremessada em relação ao solo, em termos de
,
e
.
(d)
Passo 1
Beleza, então a gente tem aqui uma catapulta que não está parada, mas está se movendo na horizontal em relação ao chão. A posição dessa catapulta no eixo
é dada pela equação:
O que a gente precisa descobrir é qual é a distância horizontal total que a pedra vai percorrer em relação ao chão, chamada de
. Para isso, vamos usar conceitos de movimento relativo e de lançamento de projéteis. Vamos precisar das constantes
,
,
, da velocidade angular
, do raio
, do tempo de voo
e da aceleração da gravidade
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que a posição da catapulta está mudando com o tempo de acordo com a equação
. Isso significa que a catapulta está acelerando na horizontal.
Passo 3
Agora, a pedra é lançada desta catapulta que está se movendo. A velocidade da pedra em relação ao chão vai ser a soma da velocidade da catapulta e da velocidade que a pedra ganha no momento do lançamento.
Passo 4
Vamos calcular a velocidade da catapulta. Derivando a posição
em relação ao tempo, temos:
Essa é a velocidade da catapulta no instante do lançamento, que vamos chamar de
.
Passo 5
No momento do lançamento, a pedra também tem uma velocidade devido ao movimento rotacional da parte da catapulta. Se a catapulta gira com velocidade angular
e tem um braço de comprimento
, a velocidade tangencial da pedra é:
Essa velocidade está na direção horizontal.
Passo 6
Então, a velocidade total da pedra em relação ao chão no instante do lançamento é a soma das duas velocidades:
Passo 7
Agora, para encontrar a distância horizontal percorrida pela pedra, precisamos multiplicar essa velocidade total pelo tempo de voo
:
Passo 8
Simplificando a expressão, temos:
Resposta
A distância horizontal percorrida pela pedra em relação ao solo é: