Considere a mesma catapulta das questōes anteriores, só que agora ela possui urn movimento no eixo x ell relação ao solo. Considere que o movimento da catapulta é descrito pela equação:
xc(t)=j t+k t^2+l t^3,
onde xr é a posição da catapulta na horizontal em relação ao solo. Dessa forma, determine:
© O vetor velocidade de lançamento em relação ao solo, em função de j, k, l, omega, r, tl e g;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma catapulta que está se movendo ao longo do eixo xc(t) = j t + k t^2 + l t^3 em relação ao solo, com sua posição descrita pela equação:
O conteúdo envolvido aqui é o movimento retilíneo e a cinemática vetorial. Para resolver, vamos precisar calcular a velocidade da catapulta no instante do lançamento ( ) considerando também fatores como a velocidade angular ( ), o raio ( ), e a aceleração da gravidade ( ).

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Então, para encontrar a velocidade da catapulta no eixo vc(t) = dxcdt = j + 2k t + 3l t^2 , vamos derivar em relação a :
Essa fórmula nos dá a velocidade da catapulta ao longo do eixo em qualquer instante .

Passo 3

Agora, além do movimento na horizontal, a catapulta está girando com uma velocidade angular vrot = omega r e tem um raio . Isso significa que há uma componente de velocidade na direção vertical devido à rotação. A velocidade tangencial dessa rotação �� dada por:
Essa é a velocidade com que a parte da catapulta que lança o projétil está se movendo para cima ou para baixo no momento do lançamento.

Passo 4

Considerando também a aceleração da gravidade , que atua para baixo, precisamos levar isso em conta na componente vertical da velocidade. No instante do lançamento ( ), a velocidade vertical resultante será a soma da velocidade da rotação e a influência da gravidade.

Passo 5

Juntando tudo, a velocidade total da catapulta no momento do lançamento ( vy = vrot - g tl = omega r - g tl ) será um vetor com duas componentes: horizontal e vertical. A componente horizontal já calculamos como . A componente vertical será:
Subtraímos porque a gravidade atua na direção oposta ao movimento da rotação.

Resposta

Portanto, o vetor velocidade de lançamento em relação ao solo é:
v = ( j + 2k tl + 3l tl^2 ) i + ( omega r - g tl ) j

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