Considere a mesma situação de um dos exemplos mostrados em aula, em que supomos a renda familiar mensal média no estado de \mathrm{R} \ 900 , com desvio padrão deã\mathrm{R} $200$, seguindo uma distribuição normal.
Se o apoio de bolsa alimentação fosse dado a 5 \% das famílias, sendo beneficiadas as de menor renda familiar mensal, esse apoio seria dado para famílias com até que renda?

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a renda máxima tal que as famílias com renda até esse valor correspondam aos 5\% mais pobres (ou seja, às menores rendas).\n
Informações fornecidas:
\mathrm{R}\$\,900 é a média da renda familiar (ou seja, \mu = 900).\n
\mathrm{R}\$\,200 é o desvio padrão (ou seja, \sigma = 200).\n
A renda segue uma distribuição normal.\n
Queremos o valor x tal que P(X \le x)=0,05.

Passo 2

Entendendo o que significa pedir o limiar dos 5\%: isso é buscar o 5º percentil da distribuição normal dada. Em palavras: “qual é o valor de renda abaixo do qual estão 5\% das famílias?” Esse valor chamaremos de x e queremos resolver a equação
P(X \le x)=0,05.

Passo 3

Como trabalhar com a normal: usamos a padronização para transformar qualquer normal em uma normal padrão (média 0 e desvio padrão 1). A fórmula de padronização é
Z=\frac{X-\mu}{\sigma},
onde X é a variável original (renda), \mu é a média e \sigma é o desvio padrão. Aqui Z segue a normal padrão. Inversamente, para obter X a partir de um valor de Z usamos
X=\mu+\;Z\cdot\sigma.
Vou usar essa última fórmula para transformar o quantil da normal padrão no quantil da nossa normal.

Passo 4

Precisamos do valor z tal que P(Z \le z)=0,05 na normal padrão. Esse z é o quantil de probabilidade 0,05. Pelas tabelas da normal padrão (ou por calculadora), o quantil 0,05 é aproximadamente
z_{0,05}=-1,645.
Observação didática: a tabela comum dá valores para probabilidades acumuladas; como 0,05 é pequena, o z correspondente é negativo. Outra forma rápida é ver que z_{0,95}=1,645 (simetria), então z_{0,05}=-1,645.

Passo 5

Agora aplicamos a fórmula inversa para achar x:
x=\mu+z_{0,05}\cdot\sigma.
Substituindo os números dados ( \mu=900, \sigma=200, z_{0,05}=-1,645):
x=900+(-1,645)\cdot 200.

Passo 6

Faço a multiplicação passo a passo:
(-1,645)\cdot 200 = -329.
Logo
x=900-329=571.
Interpretação: famílias com renda mensal até aproximadamente \mathrm{R}\$\,571 correspondem aos 5\% mais pobres segundo a distribuição dada. Podemos arredondar para uma expressão em moeda, por exemplo \mathrm{R}\$\,571,00.

Passo 7

Dica rápida para a prova: sempre memorize ou saiba onde encontrar o valor z_{0,05}\approx-1,645. Para outros percentis: 10\% tem z\approx-1,282; 1\% tem z\approx-2,326. A mesma fórmula x=\mu+z\cdot\sigma vale sempre — só troque o z.

Resposta

\mathrm{R}\$\,571,00

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