Considere a mesma situação de um dos exemplos mostrados em aula, em que supomos a renda familiar mensal média no estado de
900
\mathrm{R} $200$, seguindo uma distribuição normal.
Se o apoio de bolsa alimentação fosse dado a
das famílias, sendo beneficiadas as de menor renda familiar mensal, esse apoio seria dado para famílias com até que renda?
Se o apoio de bolsa alimentação fosse dado a
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a renda máxima tal que as famílias com renda até esse valor correspondam aos
mais pobres (ou seja, às menores rendas).\n
Informações fornecidas:
é a média da renda familiar (ou seja,
).\n
é o desvio padrão (ou seja,
).\n
A renda segue uma distribuição normal.\n
Queremos o valor tal que
.
Informações fornecidas:
A renda segue uma distribuição normal.\n
Queremos o valor
Passo 2
Entendendo o que significa pedir o limiar dos
: isso é buscar o 5º percentil da distribuição normal dada. Em palavras: “qual é o valor de renda abaixo do qual estão
das famílias?” Esse valor chamaremos de
e queremos resolver a equação
Passo 3
Como trabalhar com a normal: usamos a padronização para transformar qualquer normal em uma normal padrão (média
e desvio padrão
). A fórmula de padronização é
onde
é a variável original (renda),
é a média e
é o desvio padrão. Aqui
segue a normal padrão. Inversamente, para obter
a partir de um valor de
usamos
Vou usar essa última fórmula para transformar o quantil da normal padrão no quantil da nossa normal.
Passo 4
Precisamos do valor
tal que
na normal padrão. Esse
é o quantil de probabilidade
. Pelas tabelas da normal padrão (ou por calculadora), o quantil
é aproximadamente
Observação didática: a tabela comum dá valores para probabilidades acumuladas; como
é pequena, o
correspondente é negativo. Outra forma rápida é ver que
(simetria), então
.
Passo 5
Agora aplicamos a fórmula inversa para achar
:
Substituindo os números dados (
,
,
):
Passo 6
Faço a multiplicação passo a passo:
Logo
Interpretação: famílias com renda mensal até aproximadamente
correspondem aos
mais pobres segundo a distribuição dada. Podemos arredondar para uma expressão em moeda, por exemplo
.
Passo 7
Dica rápida para a prova: sempre memorize ou saiba onde encontrar o valor
. Para outros percentis:
tem
;
tem
. A mesma fórmula
vale sempre — só troque o
.