Considere um metal hipotético que possui raio atômico de 0,163 \mathrm{~nm}, peso atómico 58,7 \mathrm{~g} / \mathrm{mol} e densidade de 3,65 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3}. Determine:
a) Se a estrutura desse metal é CFC ou CCC.
b) A densidade planar para um plano (101).

Passo 1

O enunciado dá um metal hipotético com raio atômico R=0{,}163\,\mathrm{nm}, massa molar M=58{,}7\,\mathrm{g/mol} e densidade macroscópica \rho=3{,}65\,\mathrm{g/cm^3}.
Conteúdo: estruturas cúbicas de bcc e fcc, relação entre R e parâmetro de rede a, fórmula da densidade cristalina e densidade planar de um plano (hkl).

Passo 2

Para cada estrutura cúbica temos
– bcc: a_{\rm bcc}=\dfrac{4R}{\sqrt3}, número de átomos por célula z_{\rm bcc}=2.
– fcc: a_{\rm fcc}=2\sqrt2\,R, número de átomos por célula z_{\rm fcc}=4.
A densidade teórica vale
\rho_{\rm teórica}=\frac{z\,M/N_A}{a^3}\,,ó
em que N_A é o número de Avogadro.

Passo 3

Calculamos \rho_{\rm teórica}ó em cada caso e comparamos a \rho=3{,}65\,\mathrm{g/cm^3}:
– Para fcc:
a_{\rm fcc}=2\sqrt2\,R\,,\quad \rho_{\rm fcc} =\frac{4\,M/N_A}{a_{\rm fcc}^3}\approx3{,}98\,\mathrm{g/cm^3}.
– Para bcc:
a_{\rm bcc}=\frac{4R}{\sqrt3}\,,\quad \rho_{\rm bcc} =\frac{2\,M/N_A}{a_{\rm bcc}^3}\approx3{,}65\,\mathrm{g/cm^3}.
Só a bcc reproduz a densidade experimental.

Passo 4

Como a estrutura é bcc, usamos
a=\frac{4R}{\sqrt3} =\frac{4\times0{,}163\,\mathrm{nm}}{\sqrt3} \approx0{,}3765\,\mathrm{nm}.

Passo 5

Plano (101) em bcc: equação x+z=a, paralelo a y.
– Área da célula planar (paralelogramo dentro de uma célula):
A = a^{2} \sqrt{1^{2} + 0^{2} + 1^{2}} = a^{2} \sqrt{2}.
– Átomos cujos centros estão nesse paralelogramo:
\bullet Quatro cantos (pontos (a,0,0), (a,a,0), (0,0,a), (0,a,a)), cada um contribui com \tfrac{1}{4} \bullet Um átomo de corpo-centro em \left(\tfrac{a}{2}, \tfrac{a}{2}, \tfrac{a}{2}\right) totalmente interno
Total N = 4 \times \tfrac{1}{4} + 1 = 2.

Passo 6

Densidade planar
\mathrm{PD} =\frac{N}{A} =\frac{2}{a^2\sqrt2} \approx\frac{2}{(0{,}3765\,\mathrm{nm})^2\,1{,}414} \approx9{,}98\;\frac{\text{átomos}}{\mathrm{nm}^2} \approx9{,}98\times10^{14}\;\frac{\text{átomos}}{\mathrm{cm}^2}.áá

Resposta

a) bcc.
b) \mathrm{PD}\approx9{,}98\,\mathrm{átomos/nm^2}á (ou 9{,}98\times10^{14}\,\mathrm{átomos/cm^2}á).

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