Os materiais apresentam imperfeições em suas estruturas cristalinas, dessa forma, determine o número de defeitos por metro cúbico no composto \mathrm{Xa} 700^{\circ} \mathrm{C}. Considere que a energia necessária para a formação de cada defeito é de 1,5 \mathrm{eV}, a massa específica do composto X é 2,05 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3} e o peso atômico do elemento X é de 39 \mathrm{~g} / \mathrm{mol}. A constante de Boltzmann é de 8,62 \times 10^{-5} \mathrm{eV} / \mathrm{K}.

Passo 1

O enunciado pede o número de defeitos por metro cúbico em um sólido cristalino à temperatura de 700^\circ\mathrm{C}. O conteúdo é a aplicação da estatística de Boltzmann para defeitos em sólidos, onde a fração de sítios defeituosos é
\frac{N_d}{N} = \exp\!\biggl(-\frac{E_d}{k_B\,T}\biggr),
e o número total de sítios atômicos por volume é
N = \frac{\rho\,N_A}{M}.
Precisamos de: conversão de temperatura, densidade para número de átomos por m ^3, e então aplicar a fórmula de Boltzmann.

Passo 2

Converter 700^\circ\mathrm{C} para kelvin:
T = 700 + 273{,}15 = 973{,}15\;\mathrm{K}\approx 973\;\mathrm{K}.

Passo 3

Calcular o número total de átomos por metro cúbico. A massa específica é \rho = 2{,}05\;\mathrm{g/cm^3} = 2{,}05\times10^6\;\mathrm{g/m^3}. O peso atômico é M = 39\;\mathrm{g/mol} e N_A = 6{,}022\times10^{23}\;\mathrm{mol^{-1}}. Então
N = \frac{\rho\,N_A}{M} = \frac{2{,}05\times10^6\;\mathrm{g/m^3}\;\times\,6{,}022\times10^{23}\;\mathrm{mol^{-1}}}{39\;\mathrm{g/mol}} \approx 3{,}17\times10^{28}\;\mathrm{átomos/m^3}.á

Passo 4

Calcular a fração de sítios defeituosos com a energia de formação E_d=1{,}5\;\mathrm{eV} e k_B=8{,}62\times10^{-5}\;\mathrm{eV/K}:
k_B\,T = 8{,}62\times10^{-5}\;\mathrm{eV/K}\;\times 973\;\mathrm{K} \approx 0{,}0839\;\mathrm{eV},
\frac{N_d}{N} = \exp\!\Bigl(-\frac{1{,}5}{0{,}0839}\Bigr) = \exp(-17{,}87) \approx 1{,}72\times10^{-8}.

Passo 5

Multiplicar pela densidade de sítios atômicos para obter o número de defeitos por metro cúbico:
N_d = N \times \frac{N_d}{N} \approx 3{,}17\times10^{28}\;\mathrm{m^{-3}} \times 1{,}72\times10^{-8} \approx 5{,}45\times10^{20}\;\mathrm{defeitos/m^3}.

Resposta

O número de defeitos é aproximadamente
5{,}4\times10^{20}\;\mathrm{defeitos/m^3}.

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