Considere o método do trapézio composto para aproximar a integral
I=\int_{a}^{b} f(x) d x
(a) Mostre que o erro global E_{T} do método do trapézio composto pode ser expresso por
E_{T}=-\frac{(b-a)^{3}}{12 n^{2}} f^{\prime \prime}(\xi)
para algum \xi \in(a, b), assumindo que f \in C^{2}[a, b].
(b) Para f(x)=\ln (x), aplique essa fórmula para estimar o erro na aproximação da integral
\int_{1}^{2} \ln (x) d x
usando n=4 subintervalos.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, ao aproximar
I=\int_{a}^{b}f(x)\,dx
pelo método do trapézio composto com n subintervalos de mesmo tamanho h=(b-a)/n, o erro global
E_{T} = I - T_{n}
pode ser escrito como
E_{T} = -\frac{(b-a)^{3}}{12\,n^{2}}\,f''(\xi)
para algum \xi\in(a,b); e em seguida usar essa fórmula para estimar o erro quando f(x)=\ln(x) em \int_{1}^{2}\ln(x)\,dx com n=4. Vamos precisar de: (i) a expressão do erro local num subintervalo pelo Teorema de Taylor com resto de Lagrange; (ii) a soma desses erros e o Teorema do Valor Médio para somas.

Passo 2

Considere um subintervalo [x_{i-1},x_{i}] de comprimento h. Pelo Teorema de Taylor com resto de Lagrange em cada extremidade, pode‐se mostrar que a aproximação pelo trapézio nesse subintervalo satisfaz
\int_{x_{i-1}}^{x_{i}}f(x)\,dx =\frac{h}{2}\bigl(f(x_{i-1})+f(x_{i})\bigr) -\frac{f''(\xi_{i})}{12}\,h^{3}
para algum \xi_{i}\in(x_{i-1},x_{i}). De modo que o erro local é
E_{i} =-\frac{h^{3}}{12}\,f''(\xi_{i}).

Passo 3

O erro global é a soma dos erros locais em i=1,\dots,n:
E_{T} =\sum_{i=1}^{n}E_{i} =-\frac{h^{3}}{12}\sum_{i=1}^{n}f''(\xi_{i}).
Como f'' é contínua em [a,b], existe \xi\in(a,b) tal que
\sum_{i=1}^{n}f''(\xi_{i}) =n\,f''(\xi)
(pelo Teorema do Valor Médio para somas). Logo
E_{T} =-\frac{h^{3}}{12}\,n\,f''(\xi) =-\frac{(b-a)^{3}}{12\,n^{2}}\,f''(\xi),
que é a fórmula desejada.

Passo 4

Agora tratamos f(x)=\ln(x). Calculamos
f''(x) =\frac{d}{dx}\Bigl(\frac{1}{x}\Bigr) =-\frac{1}{x^{2}}.
Então, usando a=1, b=2 e n=4, temos h=(2-1)/4=1/4 e
E_{T} =-\frac{(2-1)^{3}}{12\cdot 4^{2}}\,f''(\xi) =\;-\frac{1}{12\cdot 16}\,\bigl(-\tfrac{1}{\xi^{2}}\bigr) =\frac{1}{192\,\xi^{2}}
para algum \xi\in(1,2).

Passo 5

Para estimar o módulo do erro, note que em [1,2] a função 1/\xi^{2} atinge o máximo em \xi=1. Logo
\bigl|E_{T}\bigr| \le \frac{1}{192}\approx 0{,}00521.

Resposta

(a) \displaystyle E_{T}=-\frac{(b-a)^{3}}{12\,n^{2}}\,f''(\xi) para algum \xi\in(a,b).
(b) Para f(x)=\ln(x), n=4, tem-se
\bigl|E_{T}\bigr|\le\frac{1}{192}\approx0{,}00521.

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