para algum \xi \in(a, b), assumindo que f \in C^{2}[a, b].
(b) Para f(x)=\ln (x), aplique essa fórmula para estimar o erro na aproximação da integral
\int_{1}^{2} \ln (x) d x
usando n=4 subintervalos.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, ao aproximar
I=\int_{a}^{b}f(x)\,dx
pelo método do trapézio composto com n subintervalos de mesmo tamanho h=(b-a)/n, o erro global
E_{T} = I - T_{n}
pode ser escrito como
E_{T} = -\frac{(b-a)^{3}}{12\,n^{2}}\,f''(\xi)
para algum \xi\in(a,b); e em seguida usar essa fórmula para estimar o erro quando f(x)=\ln(x) em \int_{1}^{2}\ln(x)\,dx com n=4. Vamos precisar de: (i) a expressão do erro local num subintervalo pelo Teorema de Taylor com resto de Lagrange; (ii) a soma desses erros e o Teorema do Valor Médio para somas.
Passo 2
Considere um subintervalo [x_{i-1},x_{i}] de comprimento h. Pelo Teorema de Taylor com resto de Lagrange em cada extremidade, pode‐se mostrar que a aproximação pelo trapézio nesse subintervalo satisfaz