Deduza a fórmula da regra do trapézio.

Passo 1

O enunciado pede deduzir a regra do trapézio, que é uma fórmula de quadratura para aproximar
\int_{a}^{b}f(x)\,dx
substituindo f por um polinômio de grau 1 que interpola f nos pontos extremos a e b.

Passo 2

Vamos construir o polinômio interpolador de Lagrange de grau 1 em [a,b]. Definimos
P_{1}(x)=f(a)\,\frac{b - x}{b - a}\;+\;f(b)\,\frac{x - a}{b - a}\,,
que satisfaz P_{1}(a)=f(a) e P_{1}(b)=f(b).

Passo 3

Aproximamos a integral de f pela integral de P_{1}. Logo,
\int_{a}^{b}f(x)\,dx\;\approx\;\int_{a}^{b}P_{1}(x)\,dx =\frac{f(a)}{b - a}\,\int_{a}^{b}(b - x)\,dx\;+\;\frac{f(b)}{b - a}\,\int_{a}^{b}(x - a)\,dx.

Passo 4

Calculamos separadamente as duas integrais:
\int_{a}^{b}(b - x)\,dx =\bigl[b\,x - \tfrac{x^{2}}{2}\bigr]_{a}^{b} =b(b - a)-\tfrac{b^{2}-a^{2}}{2} =\tfrac{(b - a)^{2}}{2},
\int_{a}^{b}(x - a)\,dx =\bigl[\tfrac{x^{2}}{2}-a\,x\bigr]_{a}^{b} =\tfrac{b^{2}-a^{2}}{2}-a(b - a) =\tfrac{(b - a)^{2}}{2}.

Passo 5

Substituindo no passo anterior, obtemos
\int_{a}^{b}P_{1}(x)\,dx =\frac{f(a)}{b - a}\,\frac{(b - a)^{2}}{2} +\frac{f(b)}{b - a}\,\frac{(b - a)^{2}}{2} =\frac{b - a}{2}\,\bigl(f(a)+f(b)\bigr).

Resposta

\int_{a}^{b}f(x)\,dx \approx \frac{b - a}{2}\,\bigl(f(a)+f(b)\bigr),
que é exatamente a fórmula da regra do trapézio.

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