Um isótopo radioativo decai segundo o modelo:
Foram obtidas as seguintes medições experimentais:
Tempo
Quantidade
0
1000
1
820
2
670
3
550
4
450
(a) Linearize o modelo para poder aplicar o Método dos Mínimos Quadrados (MMQ).
(b) Aplique o MMQ para encontrar o valor estimado de
.
(c) Calcule o coeficiente de determinação
para avaliar a qualidade do ajuste.
(d) Esboce o gráfico dos dados e da curva ajustada.
(e) Interprete o valor de
no contexto físico do decaimento.
Tempo
|
Quantidade
|
0 | 1000 |
1 | 820 |
2 | 670 |
3 | 550 |
4 | 450 |
(b) Aplique o MMQ para encontrar o valor estimado de
(c) Calcule o coeficiente de determinação
(d) Esboce o gráfico dos dados e da curva ajustada.
(e) Interprete o valor de
Passo 1
O enunciado dá o modelo de decaimento
e as medições
Queremos (a) linearizar para usar MMQ, (b) estimar
, (c) calcular
, (d) esboçar o ajuste e (e) interpretar
.
Passo 2
Para linearizar, tomamos o logaritmo natural de ambos os lados:
Definindo
ficamos com o modelo linear
Passo 3
Calculamos
e os somatórios necessários
:
Passo 4
Os coeficientes pelo MMQ são
Logo
Passo 5
Para
definimos
Passo 6
O gráfico mostra os pontos
e a curva ajustada
Os pontos caem bem sobre a curva exponencial decrescente, indicando ótimo ajuste.
Passo 7
Fisicamente,
é a constante de decaimento: a probabilidade por segundo de um núcleo decair. O tempo de meia‐vida é
Resposta
(a) Linearização:
.
(b) .
(c) .
(d) Gráfico: pontos experimentais alinhados numa curva .
(e) é a constante de decaimento (probabilidade de decaimento por segundo);
s.
(b)
(c)
(d) Gráfico: pontos experimentais alinhados numa curva
(e)