Considere o modelo de entrada-saída na equação [Consider the input-output model in equation] (2):
Dadas as condições iniciais na equação (3), encontre a evolução livre do sistema na equação [Given the initial conditions in equation (3), find the free evolution of the system in equation] (2):
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um exercício de equações diferenciais, mais especificamente sobre o modelo de entrada-saída de um sistema. O que precisamos fazer é encontrar a evolução livre do sistema, ou seja, como o sistema se comporta quando não há entrada externa (quando ). Para isso, vamos resolver a equação diferencial homogênea associada, usando as condições iniciais fornecidas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa “evolução livre”. Isso quer dizer que queremos ver como o sistema responde por si só, sem nenhuma entrada externa. Então, vamos definir d^2 y(t)d t^2 + 2 d y(t)d t + y(t) = 0 na equação original:
Agora, temos uma equação diferencial homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes.
Passo 3
Para resolver essa equação, vamos encontrar a solução geral da equação homogênea. Começamos formando a equação característica, que é obtida substituindo r^2 e^rt + 2 r e^rt + e^rt = 0 na equação diferencial:
r^2 + 2r + 1 = 0
Dividindo todos os termos por (que nunca é zero), temos:
Passo 4
Agora, vamos resolver a equação característica:
r^2 + 2r + 1 = 0
Essa é uma equação quadrática que podemos resolver usando a fórmula de Bhaskara:
r = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Onde De, r = -2 pm 02 = -1 e . Calculando o discriminante:
Como o discriminante é zero, temos duas raízes reais e iguais:
Passo 5
Com raízes reais e iguais y(t) = (C1 + C2 t) e^-t , a solução geral da equação homogênea é:
Aqui, e são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais.