Dado o modelo de espaço de estados em [Given the state-space model in] (4):
l [l dotx1(t) dotx2(t) ]=[cc 0 & 1 -5 & -2 ][l x1(t) x2(t) ]+[l 0 2 ] u(t) y(t) =[ll 0 & 1 ][l x1(t) x2(t) ]+u(t)
Encontre a função de transferência correspondente [Find a the corresponding transfer function] G(s)=Y(s) / U(s).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um modelo de espaço de estados, que é uma maneira de representar sistemas dinâmicos em controle. O que precisamos fazer é encontrar a função de transferência desse modelo. Para isso, vamos usar algumas fórmulas básicas de controle e álgebra linear.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula para converter um modelo de espaço de estados para a função de transferência. A fórmula é:
G(s) = C (sI - A)^-1 B + D
Aqui, , , , e são as matrizes que definem o sistema, é a matriz identidade, e é a variável de Laplace.

Passo 3

Vamos identificar as matrizes A = 0 & 1 -5 & -2 , B = 0 2 , C = 0 & 1 , D = 1 , , e a partir do enunciado:

Passo 4

Agora, precisamos montar a matriz sI - A = s & 0 0 & s - 0 & 1 -5 & -2 = s & -1 5 & s + 2 :

Passo 5

Vamos calcular o inverso de det(sI - A) = s(s + 2) - (-1)(5) = s^2 + 2s + 5 . Primeiro, encontramos o determinante:
(sI - A)^-1 = 1s^2 + 2s + 5 s + 2 & 1 -5 & s
Então, o inverso é dado por:

Passo 6

Agora, vamos multiplicar (sI - A)^-1 B = 1s^2 + 2s + 5 s + 2 & 1 -5 & s 0 2 = 1s^2 + 2s + 5 2 2s por C (sI - A)^-1 B = 0 & 1 2s^2 + 2s + 5 2ss^2 + 2s + 5 = 2ss^2 + 2s + 5 :
G(s) = 2ss^2 + 2s + 5 + 1 = 2s + s^2 + 2s + 5s^2 + 2s + 5 = s^2 + 4s + 5s^2 + 2s + 5
Em seguida, multiplicamos por :
Finalmente, somamos :

Resposta

A função de transferência é:
G(s) = s^2 + 4s + 5s^2 + 2s + 5

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