Determine o sistema linearizado em torno do estado de equilíbrio .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar o sistema linearizado em torno de um estado de equilíbrio . Isso faz parte do estudo de sistemas dinâmicos e controle, onde a ideia é simplificar um sistema não linear para um mais fácil de analisar, usando a linearização. Para resolver isso, vamos precisar das equações que descrevem o sistema original não linear.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que a linearização é feita usando a expansão de Taylor das equações do sistema em torno do ponto de equilíbrio. Isso significa que vamos aproximar as funções não lineares por funções lineares próximas ao ponto .
Passo 3
As matrizes e são formadas pelas derivadas parciais das funções que descrevem o sistema em relação às variáveis de estado e às entradas, avaliadas no ponto de equilíbrio. Formalmente:
B = partial fpartial u |(barx1, barx2)
Onde f representa as equações do sistema.
Passo 4
Da mesma forma, as matrizes C e D são derivadas das funções de saída do sistema. Elas são calculadas pelas derivadas parciais das funções de saída em relação às variáveis de estado e às entradas, também avaliadas no ponto de equilíbrio:
C = partial gpartial x |(barx1, barx2)
D = partial gpartial u |(barx1, barx2)
Onde g representa as funções de saída do sistema.
Passo 5
Depois de calcular todas essas derivadas parciais e formar as matrizes A, B, C e D, teremos o sistema linearizado na forma:
dotx = Ax + Bu y = Cx + Du
Resposta
O sistema linearizado em torno do estado de equilíbrio (barx1, barx2) é dado pelas matrizes A, B, C e D calculadas pelas derivadas parciais das equações do sistema original avaliadas nesse ponto de equilíbrio, conforme descrito nos passos acima.