Ao fim de estudar o efeito dos zeros na resposta de um sistema, considere a função de transferência dada na equação (1) [In order to study the effect of zeros in response of a system, consider the transfer function given in equation (1)].
G(s)=alpha s+12 s^2+3 s+1
Faça o seguinte [Do the following]:
Para alpha=[-1,0,1,2], plote e compare a resposta ao degrau unitário [For alpha= [-1,0,1,2], plot and compare the unit step response].

Passo 1

Beleza, temos um exercício sobre sistemas dinâmicos, especificamente sobre como os zeros afetam a resposta de um sistema. A função de transferência que a gente vai analisar é:
G(s)=alpha s + 12 s^2 + 3 s + 1
A gente precisa plotar e comparar a resposta ao degrau unitário para diferentes valores de alpha, que são [-1, 0, 1, 2]. Para isso, vamos precisar entender o que é uma função de transferência, como os zeros influenciam a resposta do sistema, e saber como gerar as respostas ao degrau para cada parâmetro dado.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma função de transferência. Ela relaciona a saída de um sistema com a entrada no domínio da frequência, usando a variável s da transformada de Laplace. A parte de cima da fração, alpha s + 1, são os zeros do sistema, e a parte de baixo, 2 s^2 + 3 s + 1, são os pólos.

Passo 3

Os zeros do sistema são os valores de s que anulam o numerador da função de transferência. Eles afetam como o sistema responde a diferentes entradas. No nosso caso, o zero é dado por:
alpha s + 1 = 0 implies s = -1alpha
Dependendo do valor de alpha, o zero se move no plano complexo, o que muda a dinâmica do sistema.

Passo 4

Agora, vamos ver como gerar a resposta ao degrau unitário para cada valor de alpha. A resposta ao degrau é a saída do sistema quando a entrada é um degrau de amplitude 1, ou seja, u(t). Para isso, podemos usar ferramentas como o MATLAB ou Python com a biblioteca control.

Passo 5

Vamos calcular a função de transferência para cada alpha:
  1. Para alpha = -1:
G(s) = -s + 12 s^2 + 3 s + 1
  1. Para alpha = 0:
G(s) = 12 s^2 + 3 s + 1
  1. Para alpha = 1:
G(s) = s + 12 s^2 + 3 s + 1
  1. Para alpha = 2:
G(s) = 2 s + 12 s^2 + 3 s + 1

Passo 6

Com as funções de transferência definidas, vamos usar uma ferramenta de simulação para plotar a resposta ao degrau para cada caso. No MATLAB, por exemplo, usamos a função step() para isso:
s = tf('s');

alphas = [-1, 0, 1, 2];
figure;
hold on;
for alpha = alphas
    G = (alpha*s + 1)/(2*s^2 + 3*s +1);
    step(G, 'DisplayName', ['\alpha = ' num2str(alpha)]);
end
hold off;
legend;
title('Resposta ao Degrau para diferentes \alpha');
xlabel('Tempo (s)');
ylabel('Resposta');

Passo 7

Após plotar as respostas, vamos comparar como cada valor de alpha influencia o comportamento do sistema:
  • alpha = -1: O zero está em s = 1, o que pode introduzir uma resposta mais rápida inicialmente, mas pode causar oscilações dependendo dos pólos.
  • alpha = 0: Sem zero, a função de transferência é puramente um sistema de segunda ordem, resultando em uma resposta típica sem influências adicionais de zeros.
  • alpha = 1: O zero está em s = -1, o que pode suavizar a resposta e diminuir o overshoot.
  • alpha = 2: O zero está em s = -0.5, influenciando a resposta para ser mais lenta comparado a alpha = 1.

Resposta

As respostas ao degrau unitário para alpha = [-1, 0, 1, 2] foram plotadas e comparadas, mostrando como os diferentes zeros influenciam a dinâmica do sistema, alterando características como velocidade de resposta e overshoot.

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