Ao fim de estudar o efeito dos zeros na resposta de um sistema, considere a função de transferência dada na equação (1) [In order to study the effect of zeros in response of a system, consider the transfer function given in equation (1)].
Faça o seguinte [Do the following]:
Para
, plote e compare a resposta ao degrau unitário [For
, plot and compare the unit step response].
Para
Passo 1
Beleza, temos um exercício sobre sistemas dinâmicos, especificamente sobre como os zeros afetam a resposta de um sistema. A função de transferência que a gente vai analisar é:
A gente precisa plotar e comparar a resposta ao degrau unitário para diferentes valores de
, que são [-1, 0, 1, 2]. Para isso, vamos precisar entender o que é uma função de transferência, como os zeros influenciam a resposta do sistema, e saber como gerar as respostas ao degrau para cada parâmetro dado.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma função de transferência. Ela relaciona a saída de um sistema com a entrada no domínio da frequência, usando a variável
da transformada de Laplace. A parte de cima da fração,
, são os zeros do sistema, e a parte de baixo,
, são os pólos.
Passo 3
Os zeros do sistema são os valores de
que anulam o numerador da função de transferência. Eles afetam como o sistema responde a diferentes entradas. No nosso caso, o zero é dado por:
Dependendo do valor de
, o zero se move no plano complexo, o que muda a dinâmica do sistema.
Passo 4
Agora, vamos ver como gerar a resposta ao degrau unitário para cada valor de
. A resposta ao degrau é a saída do sistema quando a entrada é um degrau de amplitude 1, ou seja,
. Para isso, podemos usar ferramentas como o MATLAB ou Python com a biblioteca
control
.Passo 5
Vamos calcular a função de transferência para cada
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Passo 6
Com as funções de transferência definidas, vamos usar uma ferramenta de simulação para plotar a resposta ao degrau para cada caso. No MATLAB, por exemplo, usamos a função
step()
para isso:s = tf('s');
alphas = [-1, 0, 1, 2];
figure;
hold on;
for alpha = alphas
G = (alpha*s + 1)/(2*s^2 + 3*s +1);
step(G, 'DisplayName', ['\alpha = ' num2str(alpha)]);
end
hold off;
legend;
title('Resposta ao Degrau para diferentes \alpha');
xlabel('Tempo (s)');
ylabel('Resposta');
Passo 7
Após plotar as respostas, vamos comparar como cada valor de
influencia o comportamento do sistema:
-
: O zero está em , o que pode introduzir uma resposta mais rápida inicialmente, mas pode causar oscilações dependendo dos pólos. -
: Sem zero, a função de transferência é puramente um sistema de segunda ordem, resultando em uma resposta típica sem influências adicionais de zeros. -
: O zero está em , o que pode suavizar a resposta e diminuir o overshoot. -
: O zero está em , influenciando a resposta para ser mais lenta comparado a .
Resposta
As respostas ao degrau unitário para
foram plotadas e comparadas, mostrando como os diferentes zeros influenciam a dinâmica do sistema, alterando características como velocidade de resposta e overshoot.