Considere o modelo M, onde U=\{1,2,3\}, com os seguintes predicados:
\mathrm{P}(\mathrm{x}) : x é um número par
\mathrm{Q}(\mathrm{x}) : x é um número ímpar
\mathrm{R}(\mathrm{x}) : x é maior que 2
Agora julgue se cada fórmula a seguir é verdadeira.
\forall \mathrm{x}(\mathrm{P}(\mathrm{x}) \rightarrow \mathrm{Q}(\mathrm{x}))

Passo 1

O enunciado define um modelo M com universo U = \{1,2,3\} e predicados \mathrm{P}(x): “ x é par” \mathrm{Q}(x): “ x é ímpar”
Devemos avaliar se a fórmula
\forall x \bigl(\mathrm{P}(x)\to \mathrm{Q}(x)\bigr)
é verdadeira em M. O conteúdo aqui é a semântica do quantificador universal e do conectivo condicional em lógica de predicados.

Passo 2

Lembrando que a implicação \varphi\to\psi é falsa só quando \varphi é verdadeira e \psi é falsa; nos outros casos ela é verdadeira. Vamos checar cada x\in U:
  • Para x=1: \mathrm{P}(1) é falso (1 não é par), logo \mathrm{P}(1)\to \mathrm{Q}(1) é verdadeiro.
  • Para x=2: \mathrm{P}(2) é verdadeiro (2 é par) e \mathrm{Q}(2) é falso (2 não é ímpar), então \mathrm{P}(2)\to \mathrm{Q}(2) é falso.
  • Para x=3: \mathrm{P}(3) é falso (3 não é par), logo \mathrm{P}(3)\to \mathrm{Q}(3) é verdadeiro.

Passo 3

Como para x=2 a implicação é falsa, a expressão dentro do quantificador universal não vale para todo elemento do universo. Portanto
\forall x\bigl(\mathrm{P}(x)\to \mathrm{Q}(x)\bigr)
é falsa em M.

Resposta

A fórmula \forall x(\mathrm{P}(x)\to \mathrm{Q}(x)) é falsa no modelo M.

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