- Um liquido de massa especifica
escoa em um tubo horizontal com seção reta de
na regiâo 1 e uma seção de
reta na região 2 . A diferença de pressāo entre as duas regiões é
. (a) Mostre que a vazāo ® é dada por
b) Determine o valor numérico da vazão.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas.
Dados:
e a diferença de pressão (fornecida no enunciado) é
O que se pede:
(a) mostrar que a vazão volumétrica é dada por
(a) mostrar que a vazão volumétrica
(b) calcular numericamente o valor de
.
Passo 2
Definimos as velocidades médias nas regiões 1 e 2 como
e
. A vazão volumétrica
é o volume por unidade de tempo que passa pela seção e relaciona-se com área e velocidade por continuidade. A equação de continuidade ( conservação de massa para fluido incompressível) é:
Explicando: isso significa que o mesmo volume por segundo que entra numa seção tem de sair pela outra;
tem unidades de
e é a vazão.
Passo 3
Agora usamos a forma simplificada da equação de Bernoulli entre as duas regiões. Como o tubo é horizontal, as alturas são iguais e se anulam. Bernoulli dá (ignorando perdas por atrito):
Rearranjando para a diferença de pressão entre as regiões (vou definir
, que corresponde ao que aparece na fórmula pedida):
Comentário físico: se
então
e
, logo
e
, consistente com o dado.
Passo 4
Expressamos as velocidades em função de
usando a continuidade:
Substituímos na expressão da diferença de pressão:
Fatorando
:
Passamos a diferença de frações para uma única fração:
Logo:
Passo 5
Isolamos
e depois
. Multiplicando ambos os lados por
e dividindo por
obtemos:
Tomando raiz quadrada:
Pronto — chegamos à fórmula pedida no item (a).
Passo 6
Agora calculamos numericamente seguindo passo a passo.
Calculemos primeiro
,
e a diferença:
Calculemos
:
Agora o argumento dentro da raiz:
Calculamos o denominador:
E o numerador:
Logo a razão é aproximadamente
A raiz quadrada dessa quantidade é
Finalmente:
Em unidades mais usuais:
.
Passo 7
Interpretação física rápida (para te deixar mais confiante): o tubo tem área maior na região 2, então a velocidade lá é menor e a pressão é maior — por isso
. A fórmula e o valor numérico estão coerentes com isso.