1. Um liquido de massa especifica 900 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} escoa em um tubo horizontal com seção reta de 1,9 \times 10^{-2} m^{2} na regiâo 1 e uma seção de 9,5 \times 10^{-2} m^{2} reta na região 2 . A diferença de pressāo entre as duas regiões é 7,2 \times 10^{3} \mathrm{~Pa}. (a) Mostre que a vazāo ® é dada por
R=A_{1} \cdot A_{2} \sqrt{\frac{2 \Delta p}{\rho\left(A_{2}^{2}-A_{1}^{2}\right)^{\prime}}}
b) Determine o valor numérico da vazão.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas.
Dados:
\rho=900\\ \mathrm{kg/m^{3}},
A_{1}=1{,}9\times10^{-2}\\ \mathrm{m^{2}},
A_{2}=9{,}5\times10^{-2}\\ \mathrm{m^{2}},
e a diferença de pressão (fornecida no enunciado) é
\Delta p=7{,}2\times10^{3}\\ \mathrm{Pa}.
O que se pede:
(a) mostrar que a vazão volumétrica R é dada por
R=A_{1}A_{2}\sqrt{\frac{2\Delta p}{\rho\left(A_{2}^{2}-A_{1}^{2}\right)}},
(b) calcular numericamente o valor de R.

Passo 2

Definimos as velocidades médias nas regiões 1 e 2 como v_{1} e v_{2}. A vazão volumétrica R é o volume por unidade de tempo que passa pela seção e relaciona-se com área e velocidade por continuidade. A equação de continuidade ( conservação de massa para fluido incompressível) é:
A_{1}v_{1}=A_{2}v_{2}=R.
Explicando: isso significa que o mesmo volume por segundo que entra numa seção tem de sair pela outra; A_{i}v_{i} tem unidades de \mathrm{m^{3}/s} e é a vazão.

Passo 3

Agora usamos a forma simplificada da equação de Bernoulli entre as duas regiões. Como o tubo é horizontal, as alturas são iguais e se anulam. Bernoulli dá (ignorando perdas por atrito):
p_{1}+\tfrac{1}{2}\rho v_{1}^{2}=p_{2}+\tfrac{1}{2}\rho v_{2}^{2}.
Rearranjando para a diferença de pressão entre as regiões (vou definir \Delta p=p_{2}-p_{1}, que corresponde ao que aparece na fórmula pedida):
\Delta p=p_{2}-p_{1}=\tfrac{1}{2}\rho\left(v_{1}^{2}-v_{2}^{2}\right).
Comentário físico: se A_{1}<A_{2} então v_{1}>v_{2} e v_{1}^{2}-v_{2}^{2}>0, logo p_{2}>p_{1} e \Delta p>0, consistente com o dado.

Passo 4

Expressamos as velocidades em função de R usando a continuidade:
v_{1}=\frac{R}{A_{1}},\qquad v_{2}=\frac{R}{A_{2}}.
Substituímos na expressão da diferença de pressão:
\Delta p=\tfrac{1}{2}\rho\left(\left(\frac{R}{A_{1}}\right)^{2}-\left(\frac{R}{A_{2}}\right)^{2}\right).
Fatorando R^{2}:
\Delta p=\tfrac{1}{2}\rho R^{2}\left(\frac{1}{A_{1}^{2}}-\frac{1}{A_{2}^{2}}\right).
Passamos a diferença de frações para uma única fração:
\frac{1}{A_{1}^{2}}-\frac{1}{A_{2}^{2}}=\frac{A_{2}^{2}-A_{1}^{2}}{A_{1}^{2}A_{2}^{2}}.
Logo:
\Delta p=\tfrac{1}{2}\rho R^{2}\cdot\frac{A_{2}^{2}-A_{1}^{2}}{A_{1}^{2}A_{2}^{2}}.

Passo 5

Isolamos R^{2} e depois R. Multiplicando ambos os lados por 2A_{1}^{2}A_{2}^{2} e dividindo por \rho(A_{2}^{2}-A_{1}^{2}) obtemos:
R^{2}=\frac{2\Delta p\;A_{1}^{2}A_{2}^{2}}{\rho\left(A_{2}^{2}-A_{1}^{2}\right)}.
Tomando raiz quadrada:
R=A_{1}A_{2}\sqrt{\frac{2\Delta p}{\rho\left(A_{2}^{2}-A_{1}^{2}\right)}}.
Pronto — chegamos à fórmula pedida no item (a).

Passo 6

Agora calculamos numericamente seguindo passo a passo.
Calculemos primeiro A_{1}^{2}, A_{2}^{2} e a diferença:
A_{1}^{2}=(1{,}9\times10^{-2})^{2}=0{,}019^{2}=0{,}000361\\ \mathrm{m^{4}},
A_{2}^{2}=(9{,}5\times10^{-2})^{2}=0{,}095^{2}=0{,}009025\\ \mathrm{m^{4}},
A_{2}^{2}-A_{1}^{2}=0{,}009025-0{,}000361=0{,}008664\\ \mathrm{m^{4}}.
Calculemos A_{1}A_{2}:
A_{1}A_{2}=(1{,}9\times10^{-2})(9{,}5\times10^{-2})=1{,}805\times10^{-3}\\ \mathrm{m^{4}}.
Agora o argumento dentro da raiz:
\frac{2\Delta p}{\rho\left(A_{2}^{2}-A_{1}^{2}\right)}= \frac{2\cdot 7{,}2\times10^{3}}{900\cdot 0{,}008664}.
Calculamos o denominador:
900\cdot 0{,}008664=7{,}7976.
E o numerador:
2\Delta p=2\cdot 7{,}2\times10^{3}=1{,}44\times10^{4}.
Logo a razão é aproximadamente
\frac{1{,}44\times10^{4}}{7{,}7976}\approx 1846{,}72.
A raiz quadrada dessa quantidade é
\sqrt{1846{,}72}\approx 42{,}97\\ (\text{aprox.}).
Finalmente:
R=A_{1}A_{2}\times 42{,}97\approx 1{,}805\times10^{-3}\times 42{,}97\approx 7{,}76\times10^{-2}\\ \mathrm{m^{3}/s}.
Em unidades mais usuais: 0{,}0776\\ \mathrm{m^{3}/s}=77{,}6\\ \mathrm{L/s}.

Passo 7

Interpretação física rápida (para te deixar mais confiante): o tubo tem área maior na região 2, então a velocidade lá é menor e a pressão é maior — por isso \Delta p=p_{2}-p_{1}>0. A fórmula e o valor numérico estão coerentes com isso.

Resposta

R=A_{1}A_{2}\sqrt{\frac{2\Delta p}{\rho\left(A_{2}^{2}-A_{1}^{2}\right)}}
R\approx 7{,}76\times10^{-2}\\ \mathrm{m^{3}/s}\\ ( \approx 77{,}6\\ \mathrm{L/s})

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