Considere uma molécula polar (a polarização já faz parte da estrutura da molécula) na presença de um campo elétrico. Mostre e explique como o torque resultante é dado por \sum \vec{\tau}=\vec{p} \times \vec{E}.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, num campo elétrico uniforme \vec{E}, uma molécula polar com dipolo fixo \vec{p} sofre um torque total
\sum \vec{\tau} \;=\;\vec{p}\times\vec{E}.
Aqui o conteúdo é torque de forças eletrostáticas sobre cargas e a definição de momento de dipolo elétrico.

Passo 2

Modelamos a molécula polar como duas cargas pontuais +q e -q separadas pelo vetor \vec{d} que vai da carga negativa à positiva. Por definição o dipolo é
\vec{p}=q\,\vec{d}.
Em um campo \vec{E} uniforme, as forças são
\vec{F}_+=+q\,\vec{E}, \qquad \vec{F}_-=-q\,\vec{E}.

Passo 3

Sejam \vec{r}_+ e \vec{r}_- os vetores de posição de +q e -q em relação a um mesmo ponto de referência. O torque de cada carga é
\vec{\tau}_+=\vec{r}_+\times\vec{F}_+=\vec{r}_+\times(q\,\vec{E}),
\vec{\tau}_-=\vec{r}_-\times\vec{F}_-=\vec{r}_-\times(-q\,\vec{E})=-\,\vec{r}_-\times(q\,\vec{E}).

Passo 4

Somando os dois torques:
\sum\vec{\tau} =\vec{\tau}_++\vec{\tau}_- =\bigl(\vec{r}_+ - \vec{r}_-\bigr)\times(q\,\vec{E}) =q\bigl(\vec{r}_+ - \vec{r}_-\bigr)\times\vec{E} =q\,\vec{d}\times\vec{E} =\vec{p}\times\vec{E}.

Resposta

\displaystyle \sum \vec{\tau}=\vec{p}\times\vec{E}.

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