Considere 2 mols de um gás com gamma=1.6 submetido a uma pressão de 6 times 10^5 Pa ocupando um volume de 0.5 m^3. Este gás realiza as seguintes transformações:
  1. Transformação isobárica triplicando o volume.
  2. Tranformação isométrica reduzindo a pressão a 25% do originaì
  3. Trasformação adiabática voltando ao volume original.
  4. Transformação isométrica voltando ao volume original
    Calcular o rendimento e comparar o ciclo de Carnot.

Passo 1

O enunciado diz que temos 2 mol de um gás ideal com γ=1,6, num estado inicial P₁=6·10⁵ Pa e V₁=0,5 m³. O gás faz um ciclo em quatro etapas:
  1. isobárica (P constante) triplicando V;
  2. isométrica (V constante) reduzindo P a 25 % de P₁;
  3. adiabática voltando ao volume V₁;
  4. isométrica voltando à pressão inicial P₁.
    Precisamos usar:
  • Lei dos gases ideais: P V = n R T
  • Capacidades molares: C_p = γR/(γ−1), C_v = R/(γ−1)
  • Fórmula da adiabática: T V^(γ−1) = constante
  • Expressões de calor em processos isobárico (Q = n C_p ΔT) e isométrico (Q = n C_v ΔT)
    O objetivo é encontrar o rendimento η = W_liquido/Q_entrada e comparar com η_Carnot = 1 − T_min/T_max.

Passo 2

Calculamos primeiro a temperatura no estado 1 usando P₁V₁ = n R T₁:
T1 = P1,V1nR = 6cdot10^5 times 0,52times8,314approx1,80times10^4; K
Capacidades molares:
$$C_p = \frac{γR}{γ-1} = \frac{1{,}6\cdot8{,}314}{0{,}6}\approx22{,}2;\mathrm{J/(mol;K)},\quad
C_v = C_p - R \approx22{,}2 - 8{,}314 = 13{,}89;\mathrm{J/(mol;K)}.$$

Passo 3

Determinar T e P em cada estado:
Estado 2 (isobárico, V₂=3 V₁=1,5 m³):
T2 = P1,V2nR = 3,T1approx5,41times10^4; K, P2=P1
Estado 3 (isométrico, V₃=V₂, P₃=0{,}25 P₁):
T3 = P3,V3nR=0,25,T2=0,75,T1approx1,35times10^4; K
Estado 4 (adiabático, V₄=V₁):
T3,V3^,γ-1 = T4,V4^,γ-1 ;Longrightarrow; T4 = T3l(V3V4r)^γ-1 = T3;3^,0,6approx1,93,T3approx2,62times10^4; K
Estado 5 (isométrico, V₅=V₄, P₅=P₁, T₅=T₁).

Passo 4

Calcular os calores em cada etapa:
  1. Q₁ (isobárico 1→2):
Q1 = n,Cp,(T2-T1) = 2cdot22,2,(3T1 - T1) approx1,60times10^6; J
  1. Q₂ (isométrico 2→3):
Q2 = n,Cv,(T3-T2) = 2cdot13,89,(0,75T1 - 3T1) approx -1,13times10^6; J(saída de calor)í
  1. Q₃ (adiabático) = 0
  2. Q₄ (isométrico 4→5):
Q4 = n,Cv,(T5 - T4) = 2cdot13,89,(T1 - 1,45T1) approx -2,26times10^5; J(saída)í

Passo 5

Trabalho líquido W = ΣQ = Q₁ + Q₂ + Q₃ + Q₄ ≈
$$1{,}60\times10^6 -1{,}13\times10^6 -2{,}26\times10^5
\approx2,48\times10^5;\mathrm J. 1,60times10^6 -1,13times10^6 -2,26times10^5 approx2,48times10^5; Jóη = \frac{W}{Q_{\rm in}}
\approx\frac{2,48\times105}{1,60\times106}
\approx0,155;ou15{,}5%.$$

Passo 6

Rendimento de Carnot entre T_max = T₂ ≈5,41×10⁴ K e T_min = T₃ ≈1,35×10⁴ K:
ηrm Carnot = 1 - TminTmax =1 - 1,35times10^45,41times10^4 approx0,75;ou 75%

Resposta

O ciclo real tem rendimento η≈15,5 %, bem menor que o rendimento de Carnot η_Carnot≈75 % para as mesmas temperaturas.

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