Considere um monocristal com formato de um cubo com 1 cm de aresta de cobre. Respostas com três algarismos significativos.
Calcule a temperatura ( ^circ C) deste monocristal quando houver, em média, uma lacuna a cada cem mil átomos ao longo das direções <100>.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um monocristal de cobre no formato de um cubo com 1 cm de aresta. Queremos descobrir a temperatura (em °C) em que, em média, aparece uma lacuna (ou vazio) a cada 100 mil átomos ao longo das direções <100>. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de física do estado sólido, como concentração de vacâncias e a relação com a temperatura.

Passo 2

Primeiro, precisamos saber quantos átomos existem no nosso cubo de cobre. O cobre cristaliza em uma estrutura de rede cúbica de face centrada (FCC), onde cada unidade de célula tem 4 átomos. A constante de rede (a) do cobre é aproximadamente 3,615 Å (angstroms), que vamos converter para centímetros.
a = 3,615 , Å = 3,615 times 10^-8 , cm Å

Passo 3

Calculamos o volume da célula unitária FCC:
Vcelula = a^3 = (3,615 times 10^-8 , cm)^3 = 4,73 times 10^-23 , cm^3

Passo 4

Agora, o volume total do cubo é de 1 cm³. Para encontrar o número total de células unitárias no cubo:
Ncélulas = VtotalVcelula = 1 , cm^34,73 times 10^-23 , cm^3 approx 2,11 times 10^22 , células éé

Passo 5

Cada célula unitária da estrutura FCC tem 4 átomos, então o número total de átomos no cubo é:
Nátomos = 4 times Ncélulas = 4 times 2,11 times 10^22 approx 8,44 times 10^22 , átomos áéá

Passo 6

A questão diz que queremos uma lacuna a cada 100 mil átomos, então a concentração de vacâncias, $ C_v $, é:
Cv

Passo 7

A concentração de vacâncias em função da temperatura é dada por:
Cv = exp(-QvkB T)
Onde:
  • $ Q_v $ é a energia de formação da vacância (para cobre, geralmente cerca de 1,2 eV),
  • $ k_B $ é a constante de Boltzmann ($ 8,617 \times 10^{-5} , eV/K $),
  • $ T $ é a temperatura em Kelvin.

Passo 8

Vamos rearranjar a equação para resolver $ T $:
T

Passo 9

Substituindo os valores:
T = -1,2 , eV8,617 times 10^-5 , eV/K times ln(1 times 10^-5)
Calculando $ \ln(1 \times 10^{-5}) = -11,5129 $:
ln(1 times 10^-5) = -11,5129

Resposta

A temperatura do monocristal de cobre é aproximadamente 126,8 °C.

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