Considere um monocristal com formato de um cubo com 1 cm de aresta de cobre. Respostas com três algarismos significativos.
Calcule a temperatura (
) deste monocristal quando houver, em média, uma lacuna a cada cem mil átomos ao longo das direções <100>.
Calcule a temperatura (
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um monocristal de cobre no formato de um cubo com 1 cm de aresta. Queremos descobrir a temperatura (em °C) em que, em média, aparece uma lacuna (ou vazio) a cada 100 mil átomos ao longo das direções <100>. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de física do estado sólido, como concentração de vacâncias e a relação com a temperatura.
Passo 2
Primeiro, precisamos saber quantos átomos existem no nosso cubo de cobre. O cobre cristaliza em uma estrutura de rede cúbica de face centrada (FCC), onde cada unidade de célula tem 4 átomos. A constante de rede (a) do cobre é aproximadamente 3,615 Å (angstroms), que vamos converter para centímetros.
Passo 3
Calculamos o volume da célula unitária FCC:
Passo 4
Agora, o volume total do cubo é de 1 cm³. Para encontrar o número total de células unitárias no cubo:
Passo 5
Cada célula unitária da estrutura FCC tem 4 átomos, então o número total de átomos no cubo é:
Passo 6
A questão diz que queremos uma lacuna a cada 100 mil átomos, então a concentração de vacâncias, $ C_v $, é:
Passo 7
A concentração de vacâncias em função da temperatura é dada por:
Onde:
- $ Q_v $ é a energia de formação da vacância (para cobre, geralmente cerca de 1,2 eV),
- $ k_B $ é a constante de Boltzmann ($ 8,617 \times 10^{-5} , eV/K $),
- $ T $ é a temperatura em Kelvin.
Passo 8
Vamos rearranjar a equação para resolver $ T $:
Passo 9
Substituindo os valores:
Calculando $ \ln(1 \times 10^{-5}) = -11,5129 $:
Resposta
A temperatura do monocristal de cobre é aproximadamente 126,8 °C.