Considere um monocristal de níquel orientado de modo tal que uma tensão de tração é aplicada ao longo da direção [001]. Se o escorregamento ocorre no plano (111) e na direção [-101], e começa quando a tensão de tração de 13,9 \mathrm{MPa} é aplicada, calcule a tensão de cisalhamento resolvida crítica.

Passo 1

O que o problema pede e o que nos foi dado.\n
  • Pede-se a tensão de cisalhamento resolvida crítica (CRSS) no sistema de escorregamento dado.\n
  • Dados do enunciado: tensão de tração aplicada \sigma = 13{,}9\\ \mathrm{MPa} na direção [001].\n
  • Plano de escorregamento: (111). A normal a esse plano (vetor normal) pode ser tomada como [1,1,1].\n
  • Direção de escorregamento: [-101] (vetor direção [-1,0,1]).\n
  • O escorregamento começa quando a tensão de tração indicada é aplicada: devemos calcular a tensão de cisalhamento resolvida correspondente a esse carregamento.\n

Passo 2

Princípio físico e fórmula que vamos usar.\n
  • Usamos a lei de Schmid: a tensão de cisalhamento resolvida \tau no sistema de escorregamento é dada por
\tau = \sigma \cos\varphi \cos\lambda,
onde:\n
  • \sigma é a tensão aplicada ao longo do eixo de tração (aqui [001]);\n
  • \varphi é o ângulo entre a direção de tração e a normal do plano de escorregamento;\n
  • \lambda é o ângulo entre a direção de tração e a direção de escorregamento.\n
  • Portanto precisamos calcular \cos\varphi e \cos\lambda por produto escalar entre vetores cristalográficos normalizados.\n

Passo 3

Cálculo de \cos\varphi (entre [001] e a normal ao plano (111)).\n
  • Tomamos o vetor de tração \mathbf{s} = [0,0,1] e o vetor normal ao plano \mathbf{n} = [1,1,1].\n
  • Produto escalar:
\mathbf{s}\cdot\mathbf{n} = 0\cdot1 + 0\cdot1 + 1\cdot1 = 1.
  • Normas:
\|\mathbf{s}\| = \sqrt{0^2+0^2+1^2} = 1,\qquad \|\mathbf{n}\| = \sqrt{1^2+1^2+1^2} = \sqrt{3}.
  • Logo
\cos\varphi = \frac{\mathbf{s}\cdot\mathbf{n}}{\|\mathbf{s}\|\,\|\mathbf{n}\|} = \frac{1}{1\cdot\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}.
(Interpretação: o eixo [001] forma um ângulo cujo cosseno é 1/\sqrt{3} com a normal ao plano (111).)\n

Passo 4

Cálculo de \cos\lambda (entre [001] e a direção de escorregamento [-101]).\n
  • Tomamos o vetor de escorregamento \mathbf{d} = [-1,0,1].\n
  • Produto escalar:
\mathbf{s}\cdot\mathbf{d} = 0\cdot(-1) + 0\cdot0 + 1\cdot1 = 1.
  • Norma de \mathbf{d}:
\|\mathbf{d}\| = \sqrt{(-1)^2+0^2+1^2} = \sqrt{2}.
  • Já sabemos \|\mathbf{s}\| = 1. Então
\cos\lambda = \frac{\mathbf{s}\cdot\mathbf{d}}{\|\mathbf{s}\|\,\|\mathbf{d}\|} = \frac{1}{1\cdot\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}.
(Interpretação: [001] tem um ângulo cujo cosseno é 1/\sqrt{2} com a direção [-101].)\n

Passo 5

Cálculo do fator de Schmid m = \cos\varphi\cos\lambda.\n
  • Multiplicando os cossenos encontrados:
m = \cos\varphi\cos\lambda = \frac{1}{\sqrt{3}}\cdot\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{6}}.
  • Valor numérico aproximado:
\frac{1}{\sqrt{6}} \approx 0{,}408248\ldots
(Isto é o fator geométrico que transforma a tensão normal aplicada em tensão cisalhante no sistema de escorregamento.)\n

Passo 6

Cálculo final da tensão de cisalhamento resolvida crítica \tau_{CRSS}.\n
  • Pela lei de Schmid:
\tau_{CRSS} = \sigma\, m = 13{,}9\\ \mathrm{MPa}\times\frac{1}{\sqrt{6}}.
  • Valor numérico:
\tau_{CRSS} \approx 13{,}9\times 0{,}408248 \approx 5{,}67\\ \mathrm{MPa}.
  • Resultado arredondado com três algarismos significativos: \tau_{CRSS} \approx 5{,}67\\ \mathrm{MPa}.\n

Resposta

5{,}67\\ \mathrm{MPa}

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