(a) Um monocristal de um metal com estrutura cristalina CCC está orientado de tal modo que uma tensão de tração é aplicada na direção [100]. Se a magnitude dessa tensão é de 4 MPa , calcule a tensão de cisalhamento resolvida na direção [1-11] nos planos (110), (011) e (10-1).
(b) Com base nesses valores para a tensão de cisalhamento resolvida, qual ou quais sistema (s) de escorregamento está(ão) orientado(s) da maneira mais favorável?
(b) Com base nesses valores para a tensão de cisalhamento resolvida, qual ou quais sistema (s) de escorregamento está(ão) orientado(s) da maneira mais favorável?
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- (a) Calcular a tensão de cisalhamento resolvida na direção
quando uma tensão de tração de magnitude é aplicada na direção , para cada um dos planos , e . - (b) Com base nesses valores, indicar qual(is) sistema(s) de escorregamento está(ão) orientado(s) de forma mais favorável (ou seja, qual(is) têm maior tensão de cisalhamento resolvida).
Informações dadas:
- Tensão aplicada:
na direção . - Direção de escorregamento (vetor de deslocamento):
. - Planos considerados:
com normal , com normal , e com normal .
Passo 2
Conceito e fórmula que vamos usar (explicação didática):
- A tensão de cisalhamento resolvida
num sistema de escorregamento é dada pela Lei de Schmid:
onde:
-
é a tensão aplicada (magnitude), -
é o ângulo entre a direção do esforço (vetor de carregamento) e a normal ao plano de escorregamento, -
é o ângulo entre a direção do esforço e a direção de escorregamento (direção do vetor de Burgers). - Interpretando geometricamente:
é a projeção do vetor de carregamento sobre a normal ao plano, e é a projeção do vetor de carregamento sobre a direção de escorregamento. O produto dá a componente de cisalhamento eficaz nessa direção do plano.
Como calcular
dos ângulos entre vetores:
- Para dois vetores
e ,
- O produto escalar
é a soma dos produtos das componentes correspondentes. - A norma
é .
Nós usaremos isso para calcular
(entre
e
) uma vez, e depois
para cada normal de plano.
Passo 3
Calcular
entre a direção de carregamento
e a direção de escorregamento
.
- Produto escalar:
- Normas:
- Portanto
Passo 4
Agora calculamos para o plano
(normal
).
- Primeiro verifico (e mostro) que a direção
realmente está contida no plano : isso acontece se o produto escalar entre o normal e a direção for zero.
logo a direção está no plano — consistentemente é um sistema de escorregamento válido.
- Produto escalar entre o carregamento
e a normal :
- Norma da normal:
- Então
- Schmid factor
:
- Finalmente tensão de cisalhamento resolvida:
Podemos dar valor numérico:
Passo 5
Plano
(normal
).
- Verificação de pertença da direção ao plano:
portanto a direção está no plano — é um sistema de escorregamento válido.
- Produto escalar entre carregamento e normal:
- Assim
- Logo o fator de Schmid é zero e a tensão resolvida é
Passo 6
Plano
(normal
).
- Verificação de pertença:
portanto também válida.
- Produto escalar entre carregamento e normal:
- Norma da normal:
- Então
- Usando
do Passo 3, o fator de Schmid é de novo
- Tensão resolvida:
Passo 7
Comparação dos valores e conclusão sobre favorecimento:
- Obtivemos:
-
, -
, -
.
-
Portanto os sistemas de escorregamento mais favoráveis (maior tensão de cisalhamento resolvida) são os associados aos planos
e
com a direção
. O plano
não recebe componente de cisalhamento da tensão aplicada nessa configuração.
Resposta
Sistemas mais favoráveis: planos
e
com direção de escorregamento
.