(a) Um monocristal de um metal com estrutura cristalina CCC está orientado de tal modo que uma tensão de tração é aplicada na direção [100]. Se a magnitude dessa tensão é de 4 MPa , calcule a tensão de cisalhamento resolvida na direção [1-11] nos planos (110), (011) e (10-1).
(b) Com base nesses valores para a tensão de cisalhamento resolvida, qual ou quais sistema (s) de escorregamento está(ão) orientado(s) da maneira mais favorável?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • (a) Calcular a tensão de cisalhamento resolvida na direção [1\,-1\,1] quando uma tensão de tração de magnitude \,4\\ \text{MPa}\, é aplicada na direção [1\,0\,0], para cada um dos planos (110), (011) e (10\bar{1}).
  • (b) Com base nesses valores, indicar qual(is) sistema(s) de escorregamento está(ão) orientado(s) de forma mais favorável (ou seja, qual(is) têm maior tensão de cisalhamento resolvida).
Informações dadas:
  • Tensão aplicada: \sigma = 4\\ \text{MPa} na direção [1\,0\,0].
  • Direção de escorregamento (vetor de deslocamento): [1\,-1\,1].
  • Planos considerados: (110) com normal [1\,1\,0], (011) com normal [0\,1\,1], e (10\bar{1}) com normal [1\,0,-1].

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (explicação didática):
  • A tensão de cisalhamento resolvida \tau num sistema de escorregamento é dada pela Lei de Schmid:
\tau = \sigma \cos\varphi \cos\lambda
onde:
  • \sigma é a tensão aplicada (magnitude),
  • \varphi é o ângulo entre a direção do esforço (vetor de carregamento) e a normal ao plano de escorregamento,
  • \lambda é o ângulo entre a direção do esforço e a direção de escorregamento (direção do vetor de Burgers).
  • Interpretando geometricamente: \cos\varphi é a projeção do vetor de carregamento sobre a normal ao plano, e \cos\lambda é a projeção do vetor de carregamento sobre a direção de escorregamento. O produto dá a componente de cisalhamento eficaz nessa direção do plano.
Como calcular \cos dos ângulos entre vetores:
  • Para dois vetores \mathbf{a} e \mathbf{b},
\cos\theta = \frac{\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}}{\lVert \mathbf{a}\rVert \lVert \mathbf{b}\rVert}
  • O produto escalar \mathbf{a}\cdot\mathbf{b} é a soma dos produtos das componentes correspondentes.
  • A norma \lVert \mathbf{a}\rVert é \sqrt{\text{soma dos quadrados das componentes}}.
Nós usaremos isso para calcular \cos\lambda (entre [1\,0\,0] e [1\,-1\,1]) uma vez, e depois \cos\varphi para cada normal de plano.

Passo 3

Calcular \cos\lambda entre a direção de carregamento [1\,0\,0] e a direção de escorregamento [1\,-1\,1].
  • Produto escalar:
[1\,0\,0]\cdot[1\,-1\,1] = 1\cdot1 + 0\cdot(-1) + 0\cdot1 = 1.
  • Normas:
\lVert [1\,0\,0]\rVert = \sqrt{1^2+0^2+0^2} = 1,
\lVert [1\,-1\,1]\rVert = \sqrt{1^2+(-1)^2+1^2} = \sqrt{3}.
  • Portanto
\cos\lambda = \frac{1}{1\cdot\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}.

Passo 4

Agora calculamos para o plano (110) (normal [1\,1\,0]).
  • Primeiro verifico (e mostro) que a direção [1\,-1\,1] realmente está contida no plano (110): isso acontece se o produto escalar entre o normal e a direção for zero.
[1\,1\,0]\cdot[1\,-1\,1] = 1\cdot1 + 1\cdot(-1) + 0\cdot1 = 0,
logo a direção está no plano — consistentemente é um sistema de escorregamento válido.
  • Produto escalar entre o carregamento [1\,0\,0] e a normal [1\,1\,0]:
[1\,0\,0]\cdot[1\,1\,0] = 1\cdot1 + 0\cdot1 + 0\cdot0 = 1.
  • Norma da normal:
\lVert [1\,1\,0]\rVert = \sqrt{1^2+1^2+0^2} = \sqrt{2}.
  • Então
\cos\varphi = \frac{1}{\sqrt{2}}.
  • Schmid factor m = \cos\varphi\cos\lambda:
m = \frac{1}{\sqrt{2}}\cdot\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{6}}.
  • Finalmente tensão de cisalhamento resolvida:
\tau_{(110)} = \sigma m = 4\\ \text{MPa}\cdot\frac{1}{\sqrt{6}}.
Podemos dar valor numérico:
\sqrt{6}\approx 2{,}44949\quad\Rightarrow\quad \tau_{(110)} \approx \frac{4}{2{,}44949}\\ \text{MPa} \approx 1{,}633\\ \text{MPa}.

Passo 5

Plano (011) (normal [0\,1\,1]).
  • Verificação de pertença da direção ao plano:
[0\,1\,1]\cdot[1\,-1\,1] = 0\cdot1 + 1\cdot(-1) + 1\cdot1 = -1 + 1 = 0,
portanto a direção está no plano — é um sistema de escorregamento válido.
  • Produto escalar entre carregamento e normal:
[1\,0\,0]\cdot[0\,1\,1] = 1\cdot0 + 0\cdot1 + 0\cdot1 = 0.
  • Assim
\cos\varphi = 0.
  • Logo o fator de Schmid é zero e a tensão resolvida é
\tau_{(011)} = \sigma\cdot 0 \cdot \cos\lambda = 0\\ \text{MPa}.

Passo 6

Plano (10\bar{1}) (normal [1\,0,-1]).
  • Verificação de pertença:
[1\,0,-1]\cdot[1\,-1\,1] = 1\cdot1 + 0\cdot(-1) + (-1)\cdot1 = 1 - 1 = 0,
portanto também válida.
  • Produto escalar entre carregamento e normal:
[1\,0\,0]\cdot[1\,0,-1] = 1\cdot1 + 0\cdot0 + 0\cdot(-1) = 1.
  • Norma da normal:
\lVert [1\,0,-1]\rVert = \sqrt{1^2+0^2+(-1)^2} = \sqrt{2}.
  • Então
\cos\varphi = \frac{1}{\sqrt{2}}.
  • Usando \cos\lambda = 1/\sqrt{3} do Passo 3, o fator de Schmid é de novo
m = \frac{1}{\sqrt{2}}\cdot\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{6}}.
  • Tensão resolvida:
\tau_{(10\bar{1})} = 4\\ \text{MPa}\cdot\frac{1}{\sqrt{6}} \approx 1{,}633\\ \text{MPa}.

Passo 7

Comparação dos valores e conclusão sobre favorecimento:
  • Obtivemos:
    • \tau_{(110)} \approx 1{,}633\\ \text{MPa},
    • \tau_{(011)} = 0\\ \text{MPa},
    • \tau_{(10\bar{1})} \approx 1{,}633\\ \text{MPa}.
Portanto os sistemas de escorregamento mais favoráveis (maior tensão de cisalhamento resolvida) são os associados aos planos (110) e (10\bar{1}) com a direção [1\,-1\,1]. O plano (011) não recebe componente de cisalhamento da tensão aplicada nessa configuração.

Resposta

\tau_{(110)} = \dfrac{4}{\sqrt{6}}\\ \text{MPa} \approx 1{,}633\\ \text{MPa}
\tau_{(011)} = 0\\ \text{MPa}
\tau_{(10\bar{1})} = \dfrac{4}{\sqrt{6}}\\ \text{MPa} \approx 1{,}633\\ \text{MPa}
Sistemas mais favoráveis: planos (110) e (10\bar{1}) com direção de escorregamento [1\,-1\,1].

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