Considere um monocristal de algum metal hipotético com estrutura cristalina CCC, orientado de tal forma que uma tensão de tração é aplicada ao longo da direção [121]. Se o escorregamento ocorre no plano (101) e na direção [-111], calcule a tensão na qual o cristal escoa se a sua tensão de cisalhamento resolvida crítica é de 2,4 \mathrm{MPa}.

Passo 1

O enunciado pede: calcular a tensão de tração na qual o cristal escoa, dado que a tensão de cisalhamento resolvida crítica é \tau_c = 2,4\\ \mathrm{MPa}.
Informações fornecidas pelo enunciado: a tensão de tração é aplicada ao longo da direção [121]; o escorregamento ocorre no plano (101) na direção de escorregamento [-111]; \tau_c = 2,4\\ \mathrm{MPa}.
Objetivo imediato: determinar a tensão de tração \sigma para a qual a componente de cisalhamento na família de escorregamento atinge \tau_c.

Passo 2

Vamos usar a lei de Schmid, que relaciona a tensão aplicada \sigma com a tensão de cisalhamento resolvida \tau sobre um sistema de escorregamento:
\tau = \sigma \, \cos\varphi \, \cos\lambda
Aqui:
  • \tau é a tensão de cisalhamento resolvida sobre o sistema de escorregamento;
  • \sigma é a tensão de tração aplicada;
  • \varphi é o ângulo entre o eixo de tração e a normal ao plano de escorregamento;
  • \lambda é o ângulo entre o eixo de tração e a direção de escorregamento.
    No escoamento a \tau = \tau_c, portanto:
\sigma = \frac{\tau_c}{\cos\varphi \, \cos\lambda}
Meu objetivo é calcular \cos\varphi e \cos\lambda a partir dos vetores cristalográficos fornecidos.

Passo 3

Como trabalhar com índices de Miller em vetores: a direção de tração [121] corresponde ao vetor \mathbf{t}=(1,2,1). A direção de escorregamento [-111] corresponde ao vetor \mathbf{s}=(-1,1,1). A normal ao plano (101) é \mathbf{n}=(1,0,1).
Para dois vetores \mathbf{a} e \mathbf{b} a fórmula do cosseno do ângulo entre eles é
\cos\theta = \frac{\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}}{|\mathbf{a}||\mathbf{b}|}
onde \mathbf{a}\cdot\mathbf{b} é o produto escalar e |\mathbf{a}| é o comprimento (norma) do vetor \mathbf{a}.

Passo 4

Calculo dos produtos escalares e normas passo a passo.
Produto escalar entre \mathbf{t} e \mathbf{s}:
\mathbf{t}\cdot\mathbf{s} = 1\cdot(-1) + 2\cdot 1 + 1\cdot 1 = -1 + 2 + 1 = 2.
Produto escalar entre \mathbf{t} e \mathbf{n}:
\mathbf{t}\cdot\mathbf{n} = 1\cdot 1 + 2\cdot 0 + 1\cdot 1 = 1 + 0 + 1 = 2.
Normas dos vetores:
|\mathbf{t}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{1+4+1} = \sqrt{6}.
|\mathbf{s}| = \sqrt{(-1)^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{1+1+1} = \sqrt{3}.
|\mathbf{n}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{1+0+1} = \sqrt{2}.

Passo 5

Agora calculo \cos\lambda (ângulo entre \mathbf{t} e \mathbf{s}) e \cos\varphi (ângulo entre \mathbf{t} e \mathbf{n}) usando a fórmula do produto escalar:
\cos\lambda = \frac{\mathbf{t}\cdot\mathbf{s}}{|\mathbf{t}||\mathbf{s}|} = \frac{2}{\sqrt{6}\,\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{18}} = \frac{2}{3\sqrt{2}}.
\cos\varphi = \frac{\mathbf{t}\cdot\mathbf{n}}{|\mathbf{t}||\mathbf{n}|} = \frac{2}{\sqrt{6}\,\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{12}} = \frac{1}{\sqrt{3}}.
Para termos uma ideia numérica (útil na prova para obter o resultado final):
\cos\lambda \approx 0,4714,\qquad \cos\varphi \approx 0,5774.

Passo 6

Cálculo do fator de Schmid m=\cos\varphi\,\cos\lambda. Posso também simplificar simbolicamente:
m = \frac{1}{\sqrt{3}}\cdot\frac{2}{3\sqrt{2}} = \frac{2}{3\sqrt{6}}.
Numericamente:
m \approx 0,2722.
Explicação rápida: o fator de Schmid mede a fração da tensão aplicada que se resolve como cisalhamento no sistema de escorregamento; quanto maior m, mais eficiente é o carregamento para provocar escorregamento nesse sistema.

Passo 7

Calcular a tensão de tração necessária para atingir \tau_c:
\sigma = \frac{\tau_c}{m} = \frac{2,4\\ \mathrm{MPa}}{0,2721655\ldots} \approx 8,82\\ \mathrm{MPa}.
Mostrei como obter m e depois dividi \tau_c por m para achar \sigma.

Resposta

\;8,82\\ \mathrm{MPa}

Exercícios relacionados