Considere um monocristal de algum metal hipotético com estrutura cristalina CCC, orientado de tal forma que uma tensão de tração é aplicada ao longo da direção [121]. Se o escorregamento ocorre no plano (101) e na direção [-111], calcule a tensão na qual o cristal escoa se a sua tensão de cisalhamento resolvida crítica é de
.
Passo 1
O enunciado pede: calcular a tensão de tração na qual o cristal escoa, dado que a tensão de cisalhamento resolvida crítica é
.
Informações fornecidas pelo enunciado: a tensão de tração é aplicada ao longo da direção
; o escorregamento ocorre no plano
na direção de escorregamento
;
.
Objetivo imediato: determinar a tensão de tração para a qual a componente de cisalhamento na família de escorregamento atinge
.
Informações fornecidas pelo enunciado:
Objetivo imediato: determinar a tensão de tração
Passo 2
Vamos usar a lei de Schmid, que relaciona a tensão aplicada
com a tensão de cisalhamento resolvida
sobre um sistema de escorregamento:
Aqui:
-
é a tensão de cisalhamento resolvida sobre o sistema de escorregamento; -
é a tensão de tração aplicada; -
é o ângulo entre o eixo de tração e a normal ao plano de escorregamento; -
é o ângulo entre o eixo de tração e a direção de escorregamento.
No escoamento a, portanto:
Meu objetivo é calcular
e
a partir dos vetores cristalográficos fornecidos.
Passo 3
Como trabalhar com índices de Miller em vetores: a direção de tração
corresponde ao vetor
. A direção de escorregamento
corresponde ao vetor
. A normal ao plano
é
.
Para dois vetores e
a fórmula do cosseno do ângulo entre eles é
Para dois vetores
onde
é o produto escalar e
é o comprimento (norma) do vetor
.
Passo 4
Calculo dos produtos escalares e normas passo a passo.
Produto escalar entre
e
:
Produto escalar entre
e
:
Normas dos vetores:
Passo 5
Agora calculo
(ângulo entre
e
) e
(ângulo entre
e
) usando a fórmula do produto escalar:
Para termos uma ideia numérica (útil na prova para obter o resultado final):
Passo 6
Cálculo do fator de Schmid
. Posso também simplificar simbolicamente:
Numericamente:
Explicação rápida: o fator de Schmid mede a fração da tensão aplicada que se resolve como cisalhamento no sistema de escorregamento; quanto maior
, mais eficiente é o carregamento para provocar escorregamento nesse sistema.
Passo 7
Calcular a tensão de tração necessária para atingir
:
Mostrei como obter
e depois dividi
por
para achar
.