Considere um motor funcionando segundo o ciclo de Otto, usando como fluido de trabalho um mol de um gás ideal diatômico. As condições do ponto A são \mathrm{P}_{\mathrm{A}}=1 bar e \mathrm{T}_{\mathrm{A}}=60^{\circ} \mathrm{C}. No ponto \mathrm{B}, \mathrm{P}_{\mathrm{B}}=15 bar, e no trecho \mathrm{B} \rightarrow \mathrm{C}, o sistema recebe calor tal que \mathrm{T}_{\mathrm{C}}=2170^{\circ} \mathrm{C}. Determine os valores de Q e W para os quatro trechos do ciclo, o trabalho líquido e o rendimento térmico.

Passo 1

Dados do enunciado (explicitando tudo que nos foi dado e o que se pede):
  • Quantidade de substância: n=1 mol.
  • O fluido é um gás ideal diatômico (graus de liberdade efetivos f=5 nas condições usuais).
  • Pressão no ponto A: \mathrm{P}_{\mathrm{A}}=1\\ \text{bar}.
  • Temperatura no ponto A: \mathrm{T}_{\mathrm{A}=60^\circ\mathrm{C}} \Rightarrow \mathrm{T}_{\mathrm{A}}=60+273{,}15=333{,}15\\ \mathrm{K}.
  • Pressão no ponto B: \mathrm{P}_{\mathrm{B}}=15\\ \text{bar}.
  • No trecho B\rightarrow C recebe calor até \mathrm{T}_{\mathrm{C}=2170^\circ\mathrm{C}} \Rightarrow \mathrm{T}_{\mathrm{C}}=2170+273{,}15=2443{,}15\\ \mathrm{K}.
  • Ciclo de Otto padrão com quatro trechos: A\!\to\!B (adiabático reversível / isentrópico — compressão), B\!\to\!C (isocórico — aquecimento), C\!\to\!D (adiabático reversível / isentrópico — expansão), D\!\to\!A (isocórico — rejeição de calor).
O que a questão pede:
  • Determinar Q e W (calor trocado e trabalho realizado PELO SISTEMA, adotando convenção usual: Q>0 quando entra calor no sistema, W>0 quando o sistema realiza trabalho) para cada um dos quatro trechos.
  • Determinar o trabalho líquido do ciclo.
  • Determinar o rendimento térmico do ciclo.

Passo 2

Relembrando fórmulas e constantes necessárias (aula rápida e prática):
  • Constante dos gases: R=8{,}314\\ \mathrm{J\;mol^{-1}\;K^{-1}}.
  • Para um gás diatômico (sem contribuição vibracional significativa) usamos: C_V=\frac{f}{2}R=\frac{5}{2}R,\qquad C_P=C_V+R=\frac{7}{2}R,e daí o coeficiente adiabático (razão de capacidades térmicas) \gamma=\frac{C_P}{C_V}=\frac{7/2}{5/2}=\frac{7}{5}=1{,}4.Interpretação: C_V é a capacidade molar a volume constante (energia interna por grau Kelvin por mol), C_P é a capacidade molar a pressão constante, e \gamma aparece nas relações adiabáticas.
  • Valores numéricos: C_V=\frac{5}{2}R= \frac{5}{2}\cdot 8{,}314 = 20{,}785\\ \mathrm{J\;mol^{-1}\;K^{-1}}.
  • Em um processo adiabático reversível (isentrópico) para gás ideal: P V^\gamma=\text{const},\qquad \frac{T_2}{T_1}=\left(\frac{P_2}{P_1}\right)^{\!\frac{\gamma-1}{\gamma}}.Explicação: isso vem de combinar PV=RT com PV^\gamma= const.
  • Em processo isocórico W=0 e o calor trocado é \Delta U=nC_V\Delta T.
  • Primeira lei da termodinâmica (convenção W trabalho realizado pelo sistema): \Delta U = Q - W \quad\Rightarrow\quad W=Q-\Delta U.Em adiabático reversível Q=0\Rightarrow \Delta U=-W.

Passo 3

Cálculo de \mathrm{T}_{\mathrm{B}} (usando a relação isentrópica entre A e B):
  • Relação usada: \mathrm{T}_{\mathrm{B}}=\mathrm{T}_{\mathrm{A}}\left(\frac{P_B}{P_A}\right)^{\!\frac{\gamma-1}{\gamma}}.
  • Substituindo: P_B/P_A=15, \gamma=1{,}4, \mathrm{T}_A=333{,}15\\ \mathrm{K}. O expoente é \dfrac{\gamma-1}{\gamma}=\dfrac{0{,}4}{1{,}4}= \dfrac{2}{7}. \mathrm{T}_{\mathrm{B}}=333{,}15\cdot 15^{2/7}\approx 333{,}15\cdot 2{,}168158\approx 722{,}32\\ \mathrm{K}.
Cálculo de Q_{AB} e W_{AB}:
  • Processo A\!\to\!B é adiabático reversível \Rightarrow Q_{AB}=0.
  • Variação de energia interna: \Delta U_{AB}=n C_V(\mathrm{T}_B-\mathrm{T}_A)=1\cdot 20{,}785\cdot(722{,}32-333{,}15).
\Delta U_{AB}=20{,}785\cdot 389{,}17\approx 8\,088{,}7\\ \mathrm{J}.
  • Usando \Delta U=Q-W e Q=0: W_{AB}=-\Delta U_{AB}\approx -8\,088{,}7\\ \mathrm{J}.Interpretação: trabalho negativo (o sistema recebe trabalho, compressão).

Passo 4

Trecho B\!\to\!C (isocórico — aquecimento):
  • Em isocórico: W_{BC}=0 (sem trabalho de pressão-volume).
  • Calor fornecido: Q_{BC}=\Delta U_{BC}=n C_V(\mathrm{T}_C-\mathrm{T}_B).
  • Substituindo \mathrm{T}_C=2443{,}15\\ \mathrm{K} e \mathrm{T}_B=722{,}32\\ \mathrm{K}: Q_{BC}=20{,}785\cdot(2443{,}15-722{,}32)=20{,}785\cdot 1720{,}83\approx 35\,767{,}4\\ \mathrm{J}.

Passo 5

Determinando a razão de compressão r (útil para C\!\to\!D) e \mathrm{T}_D:
  • A razão de compressão do ciclo de Otto é r=\dfrac{V_A}{V_B}. A partir da isentrópica P_B/P_A=r^\gamma, então r=\left(\frac{P_B}{P_A}\right)^{\!1/\gamma}=15^{1/1{,}4}\approx 6{,}92\\ (\text{aprox. }6{,}92).
  • Observação prática (atalho): já usamos 15^{2/7}=r^{\gamma-1}. Assim r^{\gamma-1}=15^{2/7}\approx 2{,}168158.
  • Como B\!\to\!C é isocórico, V_C=V_B. No processo isentrópico C\!\to\!D vale \mathrm{T}_D=\mathrm{T}_C\left(\frac{V_C}{V_D}\right)^{\!\gamma-1}=\mathrm{T}_C\left(\frac{V_B}{V_A}\right)^{\!\gamma-1}=\mathrm{T}_C\frac{1}{r^{\gamma-1}}.
  • Portanto \mathrm{T}_D=\frac{\mathrm{T}_C}{r^{\gamma-1}}=\frac{2443{,}15}{2{,}168158}\approx 1\,126{,}99\\ \mathrm{K}.

Passo 6

Trecho C\!\to\!D (adiabático reversível — expansão):
  • Em adiabático: Q_{CD}=0.
  • Variação de energia interna: \Delta U_{CD}=n C_V(\mathrm{T}_D-\mathrm{T}_C)=20{,}785\cdot(1126{,}99-2443{,}15).
\Delta U_{CD}=20{,}785\cdot(-1316{,}16)\approx -27\,356{,}4\\ \mathrm{J}.
  • Trabalhando \Delta U=Q-W com Q=0, temos W_{CD}=-\Delta U_{CD}: W_{CD}\approx +27\,356{,}4\\ \mathrm{J}.Interpretação: trabalho positivo (o sistema realiza trabalho na expansão).

Passo 7

Trecho D\!\to\!A (isocórico — rejeição de calor):
  • Em isocórico: W_{DA}=0.
  • Calor trocado: Q_{DA}=\Delta U_{DA}=n C_V(\mathrm{T}_A-\mathrm{T}_D)=20{,}785\cdot(333{,}15-1126{,}99).
Q_{DA}=20{,}785\cdot(-793{,}84)\approx -16\,499{,}0\\ \mathrm{J}.
Interpretação: Q_{DA}<0 significa que calor é rejeitado pelo sistema.

Passo 8

Trabalho líquido do ciclo e rendimento térmico:
  • Trabalho total (líquido) do ciclo: W_{\text{líquido}}=\sum W=\;W_{AB}+W_{BC}+W_{CD}+W_{DA}.íComo W_{BC}=W_{DA}=0, W_{\text{líquido}}=W_{AB}+W_{CD}\approx -8\,088{,}7 + 27\,356{,}4 = 19\,267{,}7\\ \mathrm{J}.í
  • Rendimento térmico (definição prática usada em ciclos térmicos): \eta=\frac{W_{\text{líquido}}}{Q_{\text{entrada}}}=\frac{W_{\text{líquido}}}{Q_{BC}}.ííSubstituindo: \eta=\frac{19\,267{,}7}{35\,767{,}4}\approx 0{,}53875 \approx 53{,}875\%.
  • Checagem com fórmula teórica do ciclo Otto (confirmação): \eta_{\text{Otto}}=1-\frac{1}{r^{\gamma-1}}=1-\frac{1}{15^{2/7}}=1-\frac{1}{2{,}168158}\approx 0{,}53875,o que coincide com o valor numérico acima (boa verificação).

Resposta

A\!\to\!B:\quad Q_{AB}=0,\quad W_{AB}\approx -8\,088{,}7\\ \mathrm{J}.\n
B\!\to\!C:\quad Q_{BC}\approx 35\,767{,}4\\ \mathrm{J},\quad W_{BC}=0.\n
C\!\to\!D:\quad Q_{CD}=0,\quad W_{CD}\approx +27\,356{,}4\\ \mathrm{J}.\n
D\!\to\!A:\quad Q_{DA}\approx -16\,499{,}0\\ \mathrm{J},\quad W_{DA}=0.\n
W_{\text{líquido}}\approx 19\,267{,}7\\ \mathrm{J}.í\n
\eta\approx 0{,}53875\\ (\text{ou }53{,}875\%).

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