Considere uma central nuclear com potência de 750 MW . A temperatura do reator é de 315^{\circ} \mathrm{C} e dispõese, como fonte fria de calor, de um rio com água a 20^{\circ} \mathrm{C}. (a) Qual a eficiência térmica máxima possivel da central e qual é o menor fluxo de calor que se deve liberar para o rio? (b) Se a eficiencia térmica real
for de 60 \% do valor máximo, qual o fluxo de calor que se deve liberar para o rio, e qual o aumento de temperatura do rio, se este tiver uma correnteza de 165 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s} ?

Passo 1

O enunciado dá uma central nuclear com potência de 750\\ \mathrm{MW} (assumo que esse é o trabalho útil/ potência elétrica entregue pela usina) e pede duas coisas principais:
  • (a) Qual a eficiência térmica máxima possível da central e qual é o menor fluxo de calor que deve ser liberado para o rio (fluxo de calor rejeitado)?
  • (b) Se a eficiência real for 60\% do valor máximo, qual será o fluxo de calor que deve ser liberado para o rio e qual o aumento de temperatura do rio com vazão de 165\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}?
Dados numéricos fornecidos:
\dot{W}=750\\ \mathrm{MW},
T_\text{reator}=315^\circ\mathrm{C},
T_\text{rio}=20^\circ\mathrm{C},
\dot{V}_\text{rio}=165\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}.

Passo 2

Conceito necessário (explicado devagar): eficiência máxima entre duas temperaturas é dada pela eficiência de Carnot. Essa é a eficiência teórica máxima para qualquer máquina térmica que opere entre uma fonte quente e uma fonte fria, e depende só das temperaturas absolutas (Kelvin) das duas fontes.
A fórmula de Carnot:
\eta_\text{max}=1-\frac{T_c}{T_h},
onde T_h é a temperatura da fonte quente (reator) em Kelvin e T_c é a temperatura da fonte fria (rio) em Kelvin.
Conversão Celsius \to Kelvin: some 273{,}15.
T_h = 315^\circ\mathrm{C}+273{,}15 = 588{,}15\\ \mathrm{K},
T_c = 20^\circ\mathrm{C}+273{,}15 = 293{,}15\\ \mathrm{K}.

Passo 3

Calculemos a eficiência máxima usando a fórmula de Carnot e as temperaturas em Kelvin:
\eta_\text{max}=1-\frac{293{,}15}{588{,}15}=\frac{588{,}15-293{,}15}{588{,}15}=\frac{295}{588{,}15}.
Fazendo a divisão (aproximação com 4 algarismos significativos):
\eta_\text{max}\approx 0{,}5016\quad\text{(ou seja, }50{,}16\%\text{).}
Breve interpretação: mesmo na melhor máquina possível entre essas temperaturas, no máximo cerca de 50\% da energia térmica pode virar trabalho; o resto tem que ser rejeitado como calor.

Passo 4

Agora precisamos do menor fluxo de calor que deve ser liberado para o rio quando a usina entrega \dot{W}=750\\ \mathrm{MW} com eficiência ideal \eta_\text{max}.
Relação entre fluxos de potência térmica e trabalho:
\dot{W} = \eta\,\dot{Q}_h,
onde \dot{Q}_h é o fluxo de calor absorvido da fonte quente. Então
\dot{Q}_h=\frac{\dot{W}}{\eta}.
O calor rejeitado para o rio é
\dot{Q}_c=\dot{Q}_h-\dot{W}=\dot{W}\left(\frac{1}{\eta}-1\right).
Substituindo \eta=\eta_\text{max}\approx 0{,}5016 e \dot{W}=750\cdot10^6\\ \mathrm{W}:
\dot{Q}_c=\;750\times10^6\left(\frac{1}{0{,}5016}-1\right).
Calculemos passo a passo: \dfrac{1}{0{,}5016}\approx 1{,}994, então \dfrac{1}{\eta}-1\approx 0{,}994. Logo
\dot{Q}_c\approx 750\times10^6\times0{,}994\approx 7{,}45\times10^8\\ \mathrm{W}.
Em unidades mais amigáveis: aproximadamente 745\\ \mathrm{MW}. Esse é o menor fluxo de calor para o rio se a usina operasse na eficiência de Carnot.

Passo 5

Parte (b): eficiência real é 60\% do máximo. Primeiro calcule a eficiência real:
\eta_\text{real}=0{,}60\cdot\eta_\text{max}=0{,}60\times0{,}5016\approx0{,}3010\quad\text{(ou }30{,}10\%\text{).}
Calcule agora o calor rejeitado correspondente:
\dot{Q}_{c,\text{real}}=\dot{W}\left(\frac{1}{\eta_\text{real}}-1\right).
Substituindo números:
\frac{1}{\eta_\text{real}}\approx\frac{1}{0{,}3010}\approx3{,}322,
\frac{1}{\eta_\text{real}}-1\approx 2{,}322,
\dot{Q}_{c,\text{real}}\approx 750\times10^6\times2{,}322\approx 1{,}74\times10^9\\ \mathrm{W}.
Ou seja, cerca de 1{,}74\\ \mathrm{GW} de calor precisam ser liberados ao rio quando a eficiência real é 60\% do ideal.

Passo 6

Agora vamos achar o aumento de temperatura do rio devido a esse calor rejeitado.
Relação entre fluxo de calor, vazão, calor específico e elevação de temperatura:
\dot{Q}=\dot{m}\,c\,\Delta T,
onde
\dot{m} é a vazão mássica da água ( \mathrm{kg/s}),
c é o calor específico da água (vou usar c=4184\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}),
\Delta T é o aumento de temperatura (em K ou °C).
A vazão mássica é a vazão volumétrica vezes a densidade da água ( \rho\approx1000\\ \mathrm{kg/m}^3):
\dot{m}=\rho\,\dot{V}=1000\cdot165=165000\\ \mathrm{kg/s}.
Isolando \Delta T:
\Delta T=\frac{\dot{Q}_{c,\text{real}}}{\dot{m}\,c}.
Substituindo valores:
\dot{m}\,c=165000\times4184\approx 6{,}9036\times10^8\\ \mathrm{J/(s\cdot K)}.
\Delta T\approx\frac{1{,}74\times10^9}{6{,}9036\times10^8}\approx 2{,}52\\ \mathrm{K}.
Interpretação: a água do rio, na região onde recebe o calor (assumindo mistura perfeita e sem perdas), aumentaria cerca de 2{,}52^\circ\mathrm{C}.

Resposta

(a) \eta_\text{max}\approx 0{,}5016 (ou 50{,}16\%).\n(a) \dot{Q}_{c,\min}\approx 7{,}45\times10^{8}\\ \mathrm{W} (≈ 745\\ \mathrm{MW}).\n(b) \dot{Q}_{c,\text{real}}\approx 1{,}74\times10^{9}\\ \mathrm{W} (≈ 1{,}74\\ \mathrm{GW}).\n(b) \Delta T_\text{rio}\approx 2{,}52^\circ\mathrm{C}.

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