Considere um motor CC de ímã permanente com os seguintes parâmetros: R_{\mathrm{a}}=0,35 \Omega, L_{\mathrm{a}}=1,5 \mathrm{mH}, k_{\mathrm{E}}=0,5 \mathrm{~V} /(\mathrm{rad} \mathrm{s}), k_{\mathrm{T}}=0,5 \mathrm{Nm} / \mathrm{A} e J_{\mathrm{m}}=0,02 \mathrm{~kg} \mathrm{~m}^{2}. O torque nominal desse motor é de 4 Nm . Esse motor está acionando uma carga cujo requisito de torque permanece constante em 3 Nm , independentemente da velocidade. Calcule a tensão elétrica de armadura V_{\mathrm{a}} a ser aplicada em regime permanente, se essa carga tiver de ser acionada a 1500 rpm .

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • R_{\mathrm{a}}=0,35\\ \Omega
    • L_{\mathrm{a}}=1,5\\ \mathrm{mH}
    • k_{\mathrm{E}}=0,5\\ \mathrm{V}/(\mathrm{rad}\,\mathrm{s})
    • k_{\mathrm{T}}=0,5\\ \mathrm{Nm}/\mathrm{A}
    • J_{\mathrm{m}}=0,02\\ \mathrm{kg\;m^{2}}
    • Torque nominal do motor =4\\ \mathrm{Nm} (informação disponível, não necessariamente usada)
    • Torque de carga (constante): T_{\mathrm{L}}=3\\ \mathrm{Nm}
    • Velocidade desejada: 1500\\ \mathrm{rpm}
  • O que o enunciado pede:
    • Calcular a tensão elétrica de armadura V_{\mathrm{a}} a ser aplicada em regime permanente (estado estacionário) para que a carga seja acionada a 1500\\ \mathrm{rpm}.

Passo 2

Explicando as equações que vamos usar — nada complicado, só física básica do circuito de armadura e da relação torque-corrente.
  • Equação do circuito de armadura (modelo elétrico do motor):
V_{\mathrm{a}} = R_{\mathrm{a}} I_{\mathrm{a}} + L_{\mathrm{a}}\dfrac{dI_{\mathrm{a}}}{dt} + k_{\mathrm{E}}\omega,
onde
  • V_{\mathrm{a}} é a tensão aplicada na armadura (o que queremos),
  • I_{\mathrm{a}} é a corrente de armadura,
  • R_{\mathrm{a}} é a resistência de armadura,
  • L_{\mathrm{a}} é a indutância de armadura,
  • \dfrac{dI_{\mathrm{a}}}{dt} é a derivada temporal da corrente,
  • k_{\mathrm{E}}\omega é a força contraeletromotriz (back-EMF), com k_{\mathrm{E}} constante e \omega em rad/s.
  • Relação torque-corrente (modelo elétrico-mecânico do motor):
T = k_{\mathrm{T}} I_{\mathrm{a}},
onde T é o torque produzido pelo motor e k_{\mathrm{T}} é a constante de torque.
Observação importante para regime permanente (estado estacionário): em regime permanente a corrente não varia no tempo, logo \dfrac{dI_{\mathrm{a}}}{dt}=0. Assim o termo indutivo desaparece da equação do circuito, e ficamos com
V_{\mathrm{a}} = R_{\mathrm{a}} I_{\mathrm{a}} + k_{\mathrm{E}}\omega.
Também em regime permanente, o torque produzido pelo motor deve igualar o torque de carga (assumindo perdas extras desprezíveis ou que já estão incluídas no T_{\mathrm{L}}):
T = T_{\mathrm{L}}.

Passo 3

Calcular a velocidade angular \omega correspondente a 1500\\ \mathrm{rpm}.
Conversão:
\omega = 1500\cdot \dfrac{2\pi}{60} = 50\pi\\ \mathrm{rad/s}.
Valor numérico aproximado:
\omega \approx 50\pi \approx 157,0796\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 4

Calcular a corrente de armadura necessária para produzir o torque de carga.
Usando T = k_{\mathrm{T}} I_{\mathrm{a}} e T=T_{\mathrm{L}}=3\\ \mathrm{Nm}:
I_{\mathrm{a}} = \dfrac{T_{\mathrm{L}}}{k_{\mathrm{T}}} = \dfrac{3}{0,5} = 6\\ \mathrm{A}.

Passo 5

Calcular a força contraeletromotriz (back-EMF) k_{\mathrm{E}}\omega.
k_{\mathrm{E}}\omega = 0,5 \cdot 50\pi = 25\pi\\ \mathrm{V}.
Valor numérico aproximado:
k_{\mathrm{E}}\omega \approx 25\pi \approx 78,54\\ \mathrm{V}.

Passo 6

Calcular a queda de tensão na resistência de armadura R_{\mathrm{a}} I_{\mathrm{a}}.
R_{\mathrm{a}} I_{\mathrm{a}} = 0,35 \cdot 6 = 2,1\\ \mathrm{V}.

Passo 7

Somar as contribuições para obter V_{\mathrm{a}} em regime permanente:
V_{\mathrm{a}} = R_{\mathrm{a}} I_{\mathrm{a}} + k_{\mathrm{E}}\omega = 2,1 + 25\pi\\ \mathrm{V}.
Valor numérico aproximado:
V_{\mathrm{a}} \approx 2,1 + 78,54 \approx 80,64\\ \mathrm{V}.
Comentário didático e prático: a indutância L_{\mathrm{a}} e a inércia J_{\mathrm{m}} influenciam dinâmica (resposta transitória) mas não o valor da tensão em regime permanente; por isso puderam ser desprezadas ao calcular V_{\mathrm{a}}. O torque nominal de 4\\ \mathrm{Nm} apenas indica capacidade máxima do motor; como a carga pede 3\\ \mathrm{Nm} (menor que o nominal), o motor pode operar nessa condição.

Resposta

V_{\mathrm{a}} \approx 80,64\\ \mathrm{V}

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