Considere um motor CC de ímã permanente com os seguintes parâmetros: R_{\mathrm{a}}=0,35 \Omega, L_{\mathrm{a}}=1,5 \mathrm{mH}, k_{\mathrm{E}}=0,5 \mathrm{~V} /(\mathrm{rad} \mathrm{s}), k_{\mathrm{T}}=0,5 \mathrm{Nm} / \mathrm{A} e J_{\mathrm{m}}=0,02 \mathrm{~kg} \mathrm{~m}^{2}. O torque nominal desse motor é de 4 Nm . Esse motor está operando em regime permanente com uma velocidade de 300 \mathrm{rad} / \mathrm{s}. A carga é puramente inercial com uma inércia de 0,04 \mathrm{~kg} \mathrm{~m}^{2}. Em um determinado instante, sua velocidade deve diminuir linearmente e reverter para 100 \mathrm{rad} / \mathrm{s} em um total de 4 s . Despreze L_{\mathrm{a}} \mathrm{e} \mathrm{o} atrito. Calcule e trace a corrente elétrica necessária e a tensão elétrica resultante v_{\mathrm{a}}(t) que devem ser aplicadas aos terminais da armadura dessa máquina. Como etapas intermediárias, calcule e trace e_{\mathrm{a}}(t), o torque eletromagnético necessário T_{\mathrm{em}} do motor e a corrente elétrica i_{\mathrm{a}}(t).

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que é pedido. (Há uma pequena ambiguidade no enunciado; eu vou explicá‑la e escolher uma interpretação prática para prosseguir.)
Dados fornecidos:
  • Resistência da armadura: R_{\mathrm{a}}=0,35\\ \Omega.
  • Indutância da armadura (desprezada): L_{\mathrm{a}}=1,5\\ \mathrm{mH} (será desprezada).
  • Constante de força contra‑eletromotriz: k_{\mathrm{E}}=0,5\\ \mathrm{V}/(\mathrm{rad}\,\mathrm{s}).
  • Constante de torque: k_{\mathrm{T}}=0,5\\ \mathrm{Nm}/\mathrm{A}.
  • Inércia do motor: J_{\mathrm{m}}=0,02\\ \mathrm{kg\,m}^{2}.
  • Inércia da carga (puramente inercial): J_{\mathrm{c}}=0,04\\ \mathrm{kg\,m}^{2}.
  • Torque nominal: 4\\ \mathrm{Nm} (informação para comparação).
  • Estado inicial: velocidade angular \omega(0)=300\\ \mathrm{rad/s}.
  • Desejo: em um tempo total de 4\\ \mathrm{s} a velocidade deve "diminuir linearmente e reverter para 100\\ \mathrm{rad/s}".
O enunciado tem ambiguidade sobre "reverter para 100\\ \mathrm{rad/s}":
  • Interpretação A (mais provável e mais direta): a velocidade diminui linearmente de 300 para 100\\ \mathrm{rad/s} em 4\\ \mathrm{s} (sem inversão de sentido).
  • Interpretação B (outra possível): “reverter” significaria inverter o sentido, isto é, ir de 300 para -100\\ \mathrm{rad/s} em 4\\ \mathrm{s} (troca de sentido).
Vou adotar a Interpretação A (velocidade final +100\\ \mathrm{rad/s}), porque é a leitura mais direta do texto. No final explico rapidamente como mudaria se a intenção fosse a Interpretação B.
O que pede o enunciado (etapas intermediárias exigidas):
  • Calcular e traçar e_{\mathrm{a}}(t) (a fem de armadura).
  • Calcular e traçar o torque eletromagnético necessário T_{\mathrm{em}}(t).
  • Calcular e traçar a corrente elétrica i_{\mathrm{a}}(t).
  • Calcular e traçar a tensão aplicada v_{\mathrm{a}}(t) nos terminais da armadura.
Observações importantes que vou usar:
  • Desprezar L_{\mathrm{a}} significa que não usamos o termo L_{\mathrm{a}}\dfrac{di}{dt} na equação elétrica; a corrente responde instantaneamente ao equilíbrio resistivo com a fem.
  • Desprezar atrito implica que o único torque na equação rotacional (exceto o eletromagnético) é a inércia (ou seja, nenhuma perda por atrito).
  • A inércia total que aparece na equação rotacional é J = J_{\mathrm{m}} + J_{\mathrm{c}}.

Passo 2

Expressão da velocidade buscada e aceleração angular.
Como a velocidade deve diminuir linearmente de 300 para 100\\ \mathrm{rad/s} em 4\\ \mathrm{s}, uma forma simples (reta no tempo) é:
\omega(t)=\omega_0 + a_{\omega}\,t,
com \omega_0=300\\ \mathrm{rad/s} e \omega(4)=100\\ \mathrm{rad/s}. Calcule o coeficiente angular a_{\omega}:
a_{\omega}=\frac{\omega(4)-\omega_0}{4}=\frac{100-300}{4}=\frac{-200}{4}=-50\\ \mathrm{rad/s^{2}}.
Logo:
\boxed{\omega(t)=300-50\,t\quad(\mathrm{rad/s}),\qquad 0\le t\le 4.}
A aceleração angular é constante (derivada de \omega):
\boxed{\alpha(t)=\dfrac{d\omega}{dt}=a_{\omega}=-50\\ \mathrm{rad/s^{2}}\quad(\text{constante}).}
Explicação didática rápida: uma variação linear de velocidade significa aceleração constante; aceleração é a taxa de variação da velocidade. Aqui a velocidade cai 200 rad/s em 4 s, daí -50\\ \mathrm{rad/s^{2}}.

Passo 3

Equação dinâmica rotacional e cálculo do torque eletromagnético necessário T_{\mathrm{em}}(t).
A equação de movimento rotacional (Lei de Newton para rotação) sem atrito e sem torques externos além do eletromagnético é:
J\,\alpha(t)=T_{\mathrm{em}}(t),
onde J é a inércia total vista pelo motor e \alpha é a aceleração angular. Aqui
J = J_{\mathrm{m}} + J_{\mathrm{c}} = 0,02 + 0,04 = 0,06\\ \mathrm{kg\,m^{2}}.
Substituindo \alpha=-50\\ \mathrm{rad/s^{2}}:
T_{\mathrm{em}}(t)=J\alpha=0,06\cdot(-50)=-3\\ \mathrm{Nm}.
Conclusão:
\boxed{T_{\mathrm{em}}(t)=-3\\ \mathrm{Nm}\quad(\text{constante para }0\le t\le4).}
Interpretação física: o torque é negativo porque deve opor‑se ao sentido de rotação para desacelerar a máquina. O módulo é 3\\ \mathrm{Nm}, que está abaixo do torque nominal 4\\ \mathrm{Nm}, então a exigência está dentro da capacidade nominal.

Passo 4

Relação torque‑corrente e cálculo da corrente elétrica i_{\mathrm{a}}(t).
A relação eletromecânica elementar (para motor CC) é:
T_{\mathrm{em}}(t)=k_{\mathrm{T}}\,i_{\mathrm{a}}(t),
onde k_{\mathrm{T}} é a constante de torque ( \mathrm{Nm/A}) e i_{\mathrm{a}} a corrente na armadura.
Isolando i_{\mathrm{a}}:
i_{\mathrm{a}}(t)=\dfrac{T_{\mathrm{em}}(t)}{k_{\mathrm{T}}}.
Substituindo T_{\mathrm{em}}=-3\\ \mathrm{Nm} e k_{\mathrm{T}}=0,5\\ \mathrm{Nm/A}:
i_{\mathrm{a}}(t)=\dfrac{-3}{0,5}=-6\\ \mathrm{A}.
Conclusão:
\boxed{i_{\mathrm{a}}(t)=-6\\ \mathrm{A}\quad(\text{constante para }0\le t\le4).}
Observação didática: o sinal negativo indica que a corrente flui de forma a produzir um torque que opõe a rotação. Como desprezamos L_{\mathrm{a}}, não há termo L_{\mathrm{a}}\,di/dt e a corrente é instantaneamente a necessária para o torque.

Passo 5

Cálculo da fem de armadura e_{\mathrm{a}}(t) (back‑EMF).
Para motor CC em regime, a fem (ou força contra‑eletromotriz) é proporcional à velocidade:
e_{\mathrm{a}}(t)=k_{\mathrm{E}}\,\omega(t).
Usando k_{\mathrm{E}}=0,5\\ \mathrm{V}/(\mathrm{rad/s}) e \omega(t)=300-50t:
\boxed{e_{\mathrm{a}}(t)=0,5\,(300-50t)=150-25\,t\quad(\mathrm{V}),\quad 0\le t\le4.}
Valores numéricos de referência:
  • e_{\mathrm{a}}(0)=150\\ \mathrm{V}.
  • e_{\mathrm{a}}(4)=150-25\cdot4=150-100=50\\ \mathrm{V}.
Explicação simples: a fem diminui linearmente porque a velocidade diminui linearmente; k_{\mathrm{E}} traduz velocidade em volts.

Passo 6

Cálculo da tensão de armadura v_{\mathrm{a}}(t) aplicada nos terminais.
A equação elétrica da armadura, com L_{\mathrm{a}} desprezada, é:
v_{\mathrm{a}}(t)=R_{\mathrm{a}}\,i_{\mathrm{a}}(t)+e_{\mathrm{a}}(t).
Temos R_{\mathrm{a}}=0,35\\ \Omega, i_{\mathrm{a}}(t)=-6\\ \mathrm{A} e e_{\mathrm{a}}(t)=150-25t. Calcule R_{\mathrm{a}}\,i_{\mathrm{a}}:
R_{\mathrm{a}}\,i_{\mathrm{a}}=0,35\cdot(-6)=-2{,}1\\ \mathrm{V}.
Assim:
v_{\mathrm{a}}(t)= (150-25t) + (-2{,}1) = 147{,}9 - 25\,t\quad(\mathrm{V}).
Portanto:
\boxed{v_{\mathrm{a}}(t)=147{,}9 - 25\,t\quad(\mathrm{V}),\quad 0\le t\le4.}
Valores numéricos de referência:
  • v_{\mathrm{a}}(0)=147{,}9\\ \mathrm{V}.
  • v_{\mathrm{a}}(4)=147{,}9-100=47{,}9\\ \mathrm{V}.
Interpretação: a tensão aplicada diminui linearmente porque a fem diminui linearmente; o termo resistivo simplesmente desloca a curva em -2{,}1\\ \mathrm{V}. O sinal positivo da tensão indica que, apesar do torque de frenagem (corrente negativa), a fem ainda é positiva e domina a tensão, de modo que a fonte precisa fornecer uma tensão menor que a fem para permitir a corrente negativa (sentido oposto).

Passo 7

Resumo gráfico/descrição dos “traços” (o enunciado pede traçar; descrevo as formas para você poder desenhar rapidamente):
  • T_{\mathrm{em}}(t): reta horizontal constante em -3\\ \mathrm{Nm} no intervalo 0\le t\le4.
  • i_{\mathrm{a}}(t): reta horizontal constante em -6\\ \mathrm{A} no intervalo 0\le t\le4.
  • e_{\mathrm{a}}(t): linha reta decrescente de 150\\ \mathrm{V} em t=0 até 50\\ \mathrm{V} em t=4 (pendente -25\\ \mathrm{V/s}).
  • v_{\mathrm{a}}(t): linha reta decrescente de 147{,}9\\ \mathrm{V} em t=0 até 47{,}9\\ \mathrm{V} em t=4 (mesma pendente -25\\ \mathrm{V/s}).
Se for preciso desenhar à mão: para cada curva marque os pontos em t=0,2,4 usando os valores calculados e ligue por linha reta (constante ou linear conforme indicado).

Passo 8

Breve nota sobre a Interpretação B (caso a intenção fosse reverter o sentido para -100\\ \mathrm{rad/s}):
Se a velocidade final fosse \omega(4)=-100\\ \mathrm{rad/s}, a variação seria -400\\ \mathrm{rad/s} em 4 s, então \alpha=-100\\ \mathrm{rad/s^{2}}. Com J=0,06 isso daria T_{\mathrm{em}}=J\alpha=-6\\ \mathrm{Nm} e i_{\mathrm{a}}=-6/0,5=-12\\ \mathrm{A}. Esse torque (módulo 6\\ \mathrm{Nm}) excede o torque nominal de 4\\ \mathrm{Nm}, então o motor estaria sendo solicitado além de sua nominal — isso exigiria verificar limites térmicos e de corrente. A fem e a tensão seriam calculadas análogamente, mas com \omega(t)=300-100t.

Resposta

e_{\mathrm{a}}(t)=150-25\,t\\ \mathrm{V}\quad(0\le t\le4)
T_{\mathrm{em}}(t)=-3\\ \mathrm{Nm}\quad(0\le t\le4)
i_{\mathrm{a}}(t)=-6\\ \mathrm{A}\quad(0\le t\le4)
v_{\mathrm{a}}(t)=147{,}9-25\,t\\ \mathrm{V}\quad(0\le t\le4)

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