Considere um motor CC de ímã permanente com os seguintes parâmetros:
,
e
. O torque nominal desse motor é de 4 Nm . Esse motor está operando em regime permanente com uma velocidade de
. A carga é puramente inercial com uma inércia de
. Em um determinado instante, sua velocidade deve diminuir linearmente e reverter para
em um total de 4 s . Despreze
atrito. Calcule e trace a corrente elétrica necessária e a tensão elétrica resultante
que devem ser aplicadas aos terminais da armadura dessa máquina. Como etapas intermediárias, calcule e trace
, o torque eletromagnético necessário
do motor e a corrente elétrica
.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que é pedido. (Há uma pequena ambiguidade no enunciado; eu vou explicá‑la e escolher uma interpretação prática para prosseguir.)
Dados fornecidos:
- Resistência da armadura:
. - Indutância da armadura (desprezada):
(será desprezada). - Constante de força contra‑eletromotriz:
. - Constante de torque:
. - Inércia do motor:
. - Inércia da carga (puramente inercial):
. - Torque nominal:
(informação para comparação). - Estado inicial: velocidade angular
. - Desejo: em um tempo total de
a velocidade deve "diminuir linearmente e reverter para ".
O enunciado tem ambiguidade sobre "reverter para
":
- Interpretação A (mais provável e mais direta): a velocidade diminui linearmente de
para em (sem inversão de sentido). - Interpretação B (outra possível): “reverter” significaria inverter o sentido, isto é, ir de
para em (troca de sentido).
Vou adotar a Interpretação A (velocidade final
), porque é a leitura mais direta do texto. No final explico rapidamente como mudaria se a intenção fosse a Interpretação B.
O que pede o enunciado (etapas intermediárias exigidas):
- Calcular e traçar
(a fem de armadura). - Calcular e traçar o torque eletromagnético necessário
. - Calcular e traçar a corrente elétrica
. - Calcular e traçar a tensão aplicada
nos terminais da armadura.
Observações importantes que vou usar:
- Desprezar
significa que não usamos o termo na equação elétrica; a corrente responde instantaneamente ao equilíbrio resistivo com a fem. - Desprezar atrito implica que o único torque na equação rotacional (exceto o eletromagnético) é a inércia (ou seja, nenhuma perda por atrito).
- A inércia total que aparece na equação rotacional é
.
Passo 2
Expressão da velocidade buscada e aceleração angular.
Como a velocidade deve diminuir linearmente de
para
em
, uma forma simples (reta no tempo) é:
com
e
. Calcule o coeficiente angular
:
Logo:
A aceleração angular é constante (derivada de
):
Explicação didática rápida: uma variação linear de velocidade significa aceleração constante; aceleração é a taxa de variação da velocidade. Aqui a velocidade cai 200 rad/s em 4 s, daí
.
Passo 3
Equação dinâmica rotacional e cálculo do torque eletromagnético necessário
.
A equação de movimento rotacional (Lei de Newton para rotação) sem atrito e sem torques externos além do eletromagnético é:
onde
é a inércia total vista pelo motor e
é a aceleração angular. Aqui
Substituindo
:
Conclusão:
Interpretação física: o torque é negativo porque deve opor‑se ao sentido de rotação para desacelerar a máquina. O módulo é
, que está abaixo do torque nominal
, então a exigência está dentro da capacidade nominal.
Passo 4
Relação torque‑corrente e cálculo da corrente elétrica
.
A relação eletromecânica elementar (para motor CC) é:
onde
é a constante de torque (
) e
a corrente na armadura.
Isolando
:
Substituindo
e
:
Conclusão:
Observação didática: o sinal negativo indica que a corrente flui de forma a produzir um torque que opõe a rotação. Como desprezamos
, não há termo
e a corrente é instantaneamente a necessária para o torque.
Passo 5
Cálculo da fem de armadura
(back‑EMF).
Para motor CC em regime, a fem (ou força contra‑eletromotriz) é proporcional à velocidade:
Usando
e
:
Valores numéricos de referência:
-
. -
.
Explicação simples: a fem diminui linearmente porque a velocidade diminui linearmente;
traduz velocidade em volts.
Passo 6
Cálculo da tensão de armadura
aplicada nos terminais.
A equação elétrica da armadura, com
desprezada, é:
Temos
,
e
. Calcule
:
Assim:
Portanto:
Valores numéricos de referência:
-
. -
.
Interpretação: a tensão aplicada diminui linearmente porque a fem diminui linearmente; o termo resistivo simplesmente desloca a curva em
. O sinal positivo da tensão indica que, apesar do torque de frenagem (corrente negativa), a fem ainda é positiva e domina a tensão, de modo que a fonte precisa fornecer uma tensão menor que a fem para permitir a corrente negativa (sentido oposto).
Passo 7
Resumo gráfico/descrição dos “traços” (o enunciado pede traçar; descrevo as formas para você poder desenhar rapidamente):
-
: reta horizontal constante em no intervalo . -
: reta horizontal constante em no intervalo . -
: linha reta decrescente de em até em (pendente ). -
: linha reta decrescente de em até em (mesma pendente ).
Se for preciso desenhar à mão: para cada curva marque os pontos em
usando os valores calculados e ligue por linha reta (constante ou linear conforme indicado).
Passo 8
Breve nota sobre a Interpretação B (caso a intenção fosse reverter o sentido para
):
Se a velocidade final fosse
, a variação seria
em 4 s, então
. Com
isso daria
e
. Esse torque (módulo
) excede o torque nominal de
, então o motor estaria sendo solicitado além de sua nominal — isso exigiria verificar limites térmicos e de corrente. A fem e a tensão seriam calculadas análogamente, mas com
.